2019 Fiscal Year Annual Research Report
関数不等式に関連する変分問題及び楕円型方程式の研究
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18J01019
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
橋詰 雅斗 愛媛大学, 理工学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 関数不等式 / Hardy-Sobolev不等式 / Trudinger-Moser不等式 / 変分問題 / 非線形楕円型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、前年度に得られた研究結果を基にしたより発展的な研究として、各々の特異点の位置が異なるHardy-Sobolev項及びHardy項を含む楕円型方程式の可解性の研究、及び一般的な低階摂動項を含むTrudinger-Moser不等式に関連する変分問題を行った。
一つ目の研究について、方程式に対応する最小化問題の研究を行い、より一般的な設定であるHardy-Sobolev項及び複数のHardy項を含む最小化問題において最小化関数の存在・非存在の結果を得た。まず、考察する最小化問題に関して、最小値の符号が変わるHardy項の係数の関係性を厳密に明らかにし、負値の場合において存在性を示した。次に、正値の場合において、複数個のHardy項の係数に関して、最小化関数の存在・非存在が分かれる境界があることを示し、その境界がある意味で連続になっていることも示した。この部分の証明には、先行研究で得られていた楕円型方程式の解の非存在の結果、及び最小値におけるあるパラメータに関する連続性を用いることによって証明した。これによって、ほぼ全ての場合において最小化関数の存在・非存在が明らかになった。
二つ目の研究に関して、原点近傍と無限遠方での挙動のみを仮定した低階の摂動項を扱った。これは前年度に行った具体的な摂動項であるLebesgueノルムも包含される。この結果、非線形項の原点近傍における振る舞いが重要な役割を担っていることを証明し、非線形項が二次の増大度を持つか否かが存在・非存在を分ける境界であることを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Hardy-Sobolev項及びHardy項を持つ楕円型方程式の研究においては、当初の目的であった二つのHardy項を持つ方程式の最小エネルギー解の存在に関して幾つかの結果が得られた。より一般的な複数個のHardy項を持つ場合における最小化問題に関して、達成可能性をほぼ完全な形で解決した。この問題において、最良定数の正負はHardy項の係数に依存して変わるが、その依存性を明確に明らかにしたことは現在まで得られていなかった結果であった。この結果が得られたことによって、方程式の最小エネルギー解の存在・非存在とHardy項の係数との関係も明らかになった。解の対称性の研究に関しては、現在先行研究で用いられた手法の応用を試みているが、未だ目的の結果は得られていない状況である。
Trudinger-Moser不等式に関連する変分問題においては、低階の摂動項に原点近傍と無限遠方の挙動のみを設定しその影響を考察したが、当初期待していた通り、存在・非存在の境界を明らかにすることができた。この結果は前年度の結果を包括するものであり、より一般的な設定で、本質が明瞭に見える結果となった。
以上の研究結果からも、本年度の研究はおおむね順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずHardy-Sobolev項を持つ楕円型方程式に関連する問題においては、継続の研究である解の対称性の研究を行う。Hardy-Sobolev項及びHardy項の関係から、解は軸対称であることを予想しているが、現在まで使われてきた軸対称を証明する手法は適用できないため、新しい手法を発見する必要がある。その他の問題として、現在まで未解決であった最小エネルギー解に関する3次元問題にも取り組む。近年、同様の性質を持つ問題に対しての新しい手法が発見され、その方法が本問題にも応用可能であることが予想できるため、この手法を解析し適用することを試みていく。この3次元問題が解決できた場合、他の臨界問題に関する3次元問題も解決できると思われる。
Trudinger-Moser不等式の変分問題の発展としては方程式に関する研究を行っていく。非コンパクト性の要因となる集中現象を起こす解の挙動の精密な解析、一意性、解の性質と領域の幾何学的性質との関係性など、行っていく予定の研究が幾つかある。これらの研究により、Trudinger-Moser型汎関数が持つ特有の性質が明らかになると期待できる。
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