2018 Fiscal Year Annual Research Report
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18J10105
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
村尾 智 筑波大学, 数理物質科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2020-03-31
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| Keywords | 結び目 / ハンドル体結び目 / 多重共役カンドル / トンネル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度における研究成果は，多重共役カンドルの代数構造における基礎理論の構築及び結び目のトンネルの分類である．
多重共役カンドルとは，ハンドル体結び目の彩色に関して普遍的な性質を持つ，ハンドル体結び目理論における重要な代数である．本年度の研究では，多重共役カンドルの線形拡大を与える条件を公理化した写像の組“MCQ Alexander pair”を導入し，さらにこの公理のある種の必要十分性を与えた．
また，ハンドル体結び目のトンネルに関する研究を行った．トンネルとは，ハンドル体結び目の補空間に適切に埋め込まれたアークのことであり，ハンドル体結び目補空間におけるトンネルのイソトピー類の分類は，結び目理論及び3次元多様体論の観点から重要な研究である．本年度の研究では，多重共役カンドルによる彩色理論を応用することでトンネルのイソトピー類を分類する手法を与え，その具体的な例を構成した．さらに，トンネル数が2以上の結び目における結び目解消トンネル系のイソトピー類の分類に対する応用を与えた．また，結び目解消トンネルのイソトピー類に関しては，彩色理論を用いた分類が難しい原因を明らかにし，今後の目標として引き続き研究を継続中である．
上記の研究成果及びその関連研究について，国内外の研究集会で講演を行い他の研究者たちと議論を交わした．また，研究集会「ハンドル体結び目とその周辺11」を開催し，ハンドル体結び目のAlexander不変量に関連する話題について，専門家たちとの研究交流を図った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多重共役カンドルの拡大について，その代数構造の解明を進めた．また，多重共役カンドル彩色を用いてハンドル体結び目のトンネルのイソトピー類を分類する手法を与えた．以上のことから，当初の目的に沿う形でおおむね順調に研究成果を挙げている．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の多重共役カンドルの線形拡大に関する研究成果について，論文にまとめ研究集会で講演を行う．また，MCQ Alexander pairを用いてハンドル体結び目の自由微分を導入し，多重共役カンドルを用いたAlexander不変量を構成する．
また，結び目のトンネルのイソトピー類の分類研究について，多重共役カンドル彩色における新たな観点からの制限や，本研究目的に沿った代数系の構成を試みることにより，結び目解消トンネルのイソトピー類を分類する手法について考察する．
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