2018 Fiscal Year Annual Research Report
グラフ固有値の研究及び量子ウォークの周期性問題の代数的グラフ理論からのアプローチ
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18J10656
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
久保田 匠 東北大学, 情報科学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2020-03-31
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| Keywords | 量子ウォーク / 代数的グラフ理論 / スペクトラルグラフ理論 / グラフ理論 / Grover walk / staggered walk / ホフマングラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度、私は次の3つの課題「周期的な一般ベーテ木の完全決定」「既知の周期的なグラフから新しい周期的なグラフを作る操作の考察」「ホフマングラフを用いた、staggered walk の意味で周期的なグラフを作る操作の考察」を行った。ラフに述べると、グラフ上の量子ウォーク(以下QW )は、グラフから定まる行列の固有値解析に帰着されるため、グラフが複雑になればなるほど固有値の解析が困難になる。しかしながら、代数的グラフ理論で用いられる定理や解析手法、あるいは代数計算ソフト Magma を用いることでこれらの問題はある程度解消される。
ひとつめの課題については、一般ベーテ木の中で周期的なものを完全に決定することが出来た。この結果は、ジャーナル Linear Algebra and its Aplications に出版されている。
ふたつめの課題については、複数の周期的なグラフにおいて、特定の点を同一視することによって得られるグラフが再び周期的になることを示した。この結果により、非常に多くの周期的なグラフの例が発見された。
みっつめの課題については、どのようなホフマングラフを用いれば staggered walk を誘導するかを明らかにした。さらに、このような staggered walk は、もし underlying graph が Grover walk の意味で周期的であるならば staggered walk の意味でも周期的になることを示した。前のふたつの課題の結果を踏まえると，staggered walk の意味で周期的になるグラフが(これまではひとつも知られていなかったが)大量に発見されたことになる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(ほぼ申請書通りに研究が進んでいるため、進捗状況の理由を記述する必要はないと判断します)
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も申請書通り研究を行っていく予定である。昨年度は、申請書の「研究課題A」で述べた、アソシエーションスキームに Godsil-MacKay switching を適用するという研究がそれほど進められなかったので、今年度はこちらの考察も行う。一方、昨年度の研究から「Grover walk を有向グラフ上で行う」という研究課題も見つかったため、こちらの研究も並行して行う。さらに、「ホフマングラフを用いたグラフの最小固有値の研究」も並行して行う。
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