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2018 Fiscal Year Annual Research Report

複合媒質における新しいSerrin型優決定問題

Research Project

Project/Area Number 18J11430
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

Cavallina Lorenzo  東北大学, 情報科学研究科, 特別研究員(PD)

Project Period (FY) 2018-04-25 – 2020-03-31
Keywords優決定問題 / 自由境界問題 / 複合媒質 / 放物型方程式 / 楕円型方程式 / 数値計算アルゴリズム
Outline of Annual Research Achievements

研究目的は複合媒質における放物型及び楕円型優決定問題の解の幾何学的性質を明らかにすることであった.
研究協力者の R.Magnanini氏(Firenze大学教授)と坂口茂氏(東北大学教授)と共同研究を行い,ある優決定条件を満たす2相熱伝導体の特徴づけができた.
適切な仮定の下で, 不変等熱流面か不変等温面のどちらかを有する2相熱伝導体は同心球に限ることが分かった.この結果を論文 L. Cavallina, R. Magnanini and S. Sakaguchi,“Two-phase heat conductors with a surface of the constant flow property", arXiv:1801.01352v2,学術雑誌に投稿中,の4-6章で示した.
単一媒質について研究されてきた Serrin 型楕円型優決定問題の一般化としての複合媒質に関する2相楕円型優決定問題を考えた. 単一媒質の場合と違って, 2相の場合同心球でない解(非自明解)もまた存在することを上述した論文の1章で示した.
さらに, 2相楕円型優決定問題の非自明解の幾何学的性質を調べるため,論文 L.Cavallina and T.Yachimura, “On a two-phase Serrin-type problem and its numerical computation", arXiv:1811.07156, 学術雑誌に投稿中,でKohn-Vogelius汎関数に基づいた数値計算アルゴリズムを提案した. Magnanini教授, 坂口教授及び谷地村氏との共同研究を継続中である.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

単一媒質の場合, Serrin型優決定問題においては肯定的に対称領域に限定されることが多くの研究者によって様々な問題で示された. また, 複合媒質の場合は単一媒質の場合に用いた手法がほとんど適用できないことが知られている. 本研究では, 複合媒質におけるSerrin型優決定問題を考察し, 単一媒質の場合とは異なる方法で, 放物型の場合には肯定的に対称領域に限定されることを証明し, 楕円型の場合には対称性の破壊が起こり得るという新しい知見を得ることに成功している. さらに, 東北大学の谷地村氏との共同研究では, 上述の楕円型優決定問題の非対称解の解析のための数値計算アルゴリズムを提案した.
このことを3つの論文(1本は国債学術誌に掲載済み, 2本はarXivに発表するとともに国債学術誌に投稿中)にまとめた. 以上のことから, 当初の計画以上に研究の進展があったと思われる.

Strategy for Future Research Activity

複合媒質における楕円型優決定問題の非対称解(非自明解)のより精密な解析を行うことを今後の研究の目的とする. 特に, 非自明解の幾何学的性質を調べることに重点を置いて研究を進める予定である. 具体的に以下の3つの課題に挑戦したいと思う.
1)上述の優決定問題における存在・一意性のための必要・十分条件を調べる. また, Crandall-Rabinowitzの定理を用いて対称性の破壊を伴う分岐現象の解析を行う.
2)複合媒質の介在物の形状は解にどの影響を及ぼしているかを明らかにする. 特に介在物が軸対称・凸・星形領域等の場合を検討する. また, 複合媒質に付随する複数のパラメータによる解の連続性及び漸近挙動を考察する.
3)数値アルゴリズムの結果から, 対称解の摂動解として得られない, 対称解との位相が異なる非自明解もまた存在することが示唆される. このような解の存在を示す.

  • Research Products

    (9 results)

All 2019 2018 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 1 results,  Open Access: 2 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 3 results)

  • [Int'l Joint Research] Firenze大学(イタリア)

    • Country Name
      ITALY
    • Counterpart Institution
      Firenze大学
  • [Journal Article] On a two-phase overdetermined problem of Serrin type2019

    • Author(s)
      Cavallina Lorenzo
    • Journal Title

      Hokkaido University Preprint Series in Mathematics = 北海道大学数学講究録

      Volume: 176 Pages: 525~533

    • Open Access
  • [Journal Article] Stability analysis of the two-phase torsional rigidity near a radial configuration2018

    • Author(s)
      Cavallina Lorenzo
    • Journal Title

      Applicable Analysis

      Volume: 0 Pages: 1~12

    • DOI

      10.1080/00036811.2018.1478082

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A local analysis of the radial configuration for the two-phase torsion problem in the ball2018

    • Author(s)
      Cavallina Lorenzo
    • Journal Title

      RIMS 講究録

      Volume: 2082 Pages: 7~20

    • Open Access
  • [Presentation] On a two-phase overdetermined problem of Serrin-type2019

    • Author(s)
      Cavallina Lorenzo
    • Organizer
      第15回数学総合若手研究集会「数学の交叉点」, 北海道大学
  • [Presentation] 二相Serrin型優決定問題とその数値計算について2019

    • Author(s)
      Cavallina Lorenzo
    • Organizer
      日本数学会2019年度年解函数方程式論分科会, 東京工業大学
  • [Presentation] On a two-phase shape optimization problem and its related overdetermined problem2019

    • Author(s)
      Cavallina Lorenzo
    • Organizer
      第24回計算工学講演会, 一般社団法人日本計算工学会主催ソニックシティ(大宮)
    • Invited
  • [Presentation] Local analysis of the torsional rigidity of a two-phase body under general perturbations2018

    • Author(s)
      Cavallina Lorenzo
    • Organizer
      Workshop on Nonlinear Partial Differential Equations: Japan-China Joint Project for Young Mathematicians 2018, 龍谷大学
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The study of the two-phase torsion problem by means of shape derivatives2018

    • Author(s)
      Cavallina Lorenzo
    • Organizer
      Joint Firenze-Tohoku Research Workshop on Nonlinear PDEs, Firenze大学
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2019-12-27  

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