tropical geometry, rigid analytic geometry and their applications to arithmetic geometry

2018 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18J21577
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 三上 陵太 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2018-04-25 – 2021-03-31
• Keywords: トロピカル幾何 / 非アルキメデス的幾何 / 代数的サイクル / トーリック幾何 / コホモロジー

Outline of Annual Research Achievements

本年度は代数的サイクルとトロピカル幾何の関係を調べ，複素数体および自明付値無限体上の滑らかな代数多様体に対し，その有理Chow群が有理トロピカルコホモロジーの一部と同型であることを証明した．これは複素代数幾何の主要な未解決問題であるHodge予想のトロピカルコホモロジーに対する類似である．その系としてGrothendieckの代数的サイクルの標準予想Dの類似（トロピカルホモロジカル同値と数値同値が等しいこと）も得られた．
より具体的には，曲面などの場合の具体的な計算とLiuによるMilnor K理論を用いたトロピカルサイクル類写像の構成から着想を得て，Milnor K理論のトロピカル類似（以下，トロピカルK理論）を導入し，「（有理）トロピカルコホモロジーが，（有理）トロピカルK理論のZariski層の層コホモロジーである」ことを示した．高次元の多様体のトロピカルコホモロジーを直接計算することは困難であるが，定理の証明ではQuillen,Bloch-Ogus,Gabber,Rost,Colliot-Thelene-Hoobler-Kahnらによって与えられた一般の「コホモロジー理論」に関する定理を用いることで，非アルキメデス幾何の簡単な計算に帰着させ解決した．
また具体例として，滑らかなトーリック多様体のトロピカルコホモロジーが，特異コホモロジーの重みフィルトレーションの次数付き商と同型であることを証明した．証明にはホモトピー普遍性と組の完全列とTotaroとJordanによって与えられた重みフィルトレーションの次数付き商の組み合わせ的表示を用いた．

Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

以下の３つの理由による．
１．今年度は代数的サイクルをトロピカル類似で表し，翌年度以降の研究でトロピカルコホモロジーと比較するつもりであったが，代数的サイクルとトロピカルコホモロジーを直接比較することができたため．
２．一般の代数多様体は非常に難しい対象であるので，当初は曲面など特別な多様体のみでしか結果を得ることは難しいと予想していたが，一般の代数多様体で結果を得ることができたため．
３．翌年度以降の予定であった特異コホモロジーとトロピカルコホモロジーの比較を，トーリック多様体という限定的な多様体ではあるが行うことができたため．

Strategy for Future Research Activity

本年度の研究により，Hodge予想のような特異コホモロジーの代数的部分に関する予想は，特異コホモロジーとその類似物であるトロピカルコホモロジーの比較の問題に帰着された．２年目以降は，その問題の解決を目標として，これらのコホモロジーの間の関係を調べる予定である．