2019 Fiscal Year Annual Research Report
ベクトル束の特異エルミート計量と相対随伴束の順像層の正値性の研究
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18J22119
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
稲山 貴大 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 特異エルミート計量 / 大沢-竹腰の拡張定理 / 相対多重標準束 / 擬ノルム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、正則ベクトル束上の特異エルミート計量の正値性を調べること、及びそれを応用して相対随伴束の順像層の正値性を解明することである。本年度は以下の研究成果を得た。
(1)ヘルマンダー型の評価式の研究：Griffiths正値な特異エルミート計量を持つベクトル束係数のヘルマンダー型の評価式を得た。かつては計量の滑らかさに一定の条件を設けていたが、本年度はその仮定を外すことに成功し、一般的な設定で上記の評価式を得た。また、これを応用してある種のコホモロジーの消滅定理を得た。これはGriffithsの消滅定理の特異エルミート計量への一般化に相当する。
(2)相対多重標準束の順像層に入る擬ノルムの研究：複素多様体間の射に対し、相対多重標準束の順像層にはベルグマン核計量の類似により標準擬ノルムが定まる。報告者はある幾何学的な設定の下で、Stein射の正則構造がこの標準擬ノルムによって定まることを示した。このような研究はRoydenによるコンパクトリーマン面のタイヒミュラー理論の研究に端を発し、代数幾何学ではYauの擬ノルム計画とも呼ばれている。報告者は近年Deng-Wang-Zhang-Zhouによって得られていた複素ユークリッド空間内の有界超凸領域に関する上記タイプの結果を一般化し、大沢-竹腰の拡張定理のあるバージョンを用いることで上記の結果を得ることに成功した。またStein射が複素ユークリッド空間内の有界擬凸領域からの射影で得られる特別な場合については、大沢-竹腰の拡張定理を用いない簡明な証明方法を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
正則ベクトル束の特異エルミート計量に付随する曲率カレントは、一般には測度係数で定義できないことが知られている。そのため特異エルミート計量の半正値性及び正値性を特徴付けることは難しく、関連したヘルマンダー型の評価式もほとんど得られていない。上記(1)の研究はある場合において特異エルミート計量係数のヘルマンダー型の評価式を与えており、本分野の研究に進展を与えるものである。また、計量の滑らかさに依らない形での正値性の定式化も与えており、今後の発展が期待される。
また上記(2)の研究は、Yauの擬ノルム計画と呼ばれる研究のある種の延長上にあるものである。今までは複素多様体上の結果しか得られていなかったが、本研究は複素多様体間の射に対し定理を証明したことに新規性がある。また大沢-竹腰の拡張定理のある種のバージョンを用いており、複素幾何学だけでなく代数幾何学への応用も期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1)ヘルマンダー型の評価式に立脚した、新たな正値性の概念の研究。
(2)弱擬凸ケーラー多様体上のヘルマンダー型の評価式及びコホモロジーの消滅定理の確立。
(3)相対多重標準束及び相対随伴束の順像層の中野正値性の研究。
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