2018 Fiscal Year Annual Research Report
志村多様体とp進的手法を用いた代数曲面とTate予想の研究
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18J22191
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
伊藤 和広 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | K3曲面 / 代数曲面 / 志村多様体 / 数論幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，数論幾何における p 進的な手法を用いて，代数曲面のサイクル，ピカール群を調べることを目標としている．本年度では，伊藤哲史氏と越川皓永氏との共同研究により，Madapusi Pera による久賀・佐武構成と Kisin による志村多様体の整モデル内での「虚数乗法を伴う持ち上げ」の研究をさらに進展させることで，有限体上の K3 曲面の自己積に対する Tate 予想を，向井，Buskinによって証明された複素 K3 曲面の自己積に対する Hodge 予想に帰着させることで，証明することに成功した．その研究の中で，Bhatt-Morrow-Scholze によって証明された良い還元をもつ p 進体上の代数多様体に対する整係数でのエタールコホモロジーとクリスタリンコホモロジーの比較同型を用いることで，Madapusi Pera による K3 曲面自身に対する Tate 予想の証明を見通し良く理解できることがわかった．この比較同型の証明にも使われている Scholze によって導入されたパーフェクトイド空間などの理論は今後も数論幾何学における重要な道具として研究されることが予想されるが，当研究では代数曲面のサイクルや Tate 予想などの比較的具体的な問題に応用するという立場から研究を進めていく予定である．
本年度では，有限体上のK3曲面の自己積に対するTate予想などの結果を論文にまとめ，2018年6月に東京電機大学『数学講演会』にて，2018年11月に東北大学で開かれた研究集会『p-adic cohomology and arithmetic geometry 2018』にて講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度では，当初の目的の一つであった有限体上の K3 曲面の自己積に対する Tate 予想を，伊藤哲史氏と越川皓永氏との共同研究により解決することができた．その結果を論文にまとめ，研究集会で発表した．当初の研究計画の中で K3 曲面に対する部分は予定よりも進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画の中で K3 曲面に対する部分は予定以上にうまく進展したので，今後は K3 曲面以外の代数曲面に対してピカール群を計算するような手法を研究する予定である．Scholzeによって導入されたパーフェクトイド空間の理論，またリジッド解析空間に対する pro-etale 位相を使った p 進 Hodge 理論は今後も数論幾何学における非常に強力な道具として研究されることが予想されるが，当研究では今後も引き続き，代数曲面のサイクルやTate予想などの問題に応用するという立場から研究を進める．特に正標数の代数曲面に対する Tate 予想への応用を踏まえて，p進体上の代数曲面，またリジッド解析曲面のピカール群をパーフェクトイド空間を用いて計算する手法を研究する予定である．またそれらのブラウアー群もピカール群と密接な関係があるため，研究対象に取り入れる予定である．
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