2019 Fiscal Year Annual Research Report
志村多様体とｐ進的手法を用いた代数曲面とＴａｔｅ予想の研究
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18J22191
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
伊藤 和広 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | Tate 予想 / Brauer 群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度では，Deligne による「weight-monodromy 予想」の捩れ係数類似の定式化をし，それをいくかの場合に証明した．特に曲面の場合，等標数の局所体上の滑らかなで射影的な多様体の場合について証明した．また p 進体上の Drinfeld 上半空間の積で一意化された多様体についても示し，また，p 進係数版の weight-monodromy 予想も同時に示した．（Drinfeld 上半空間の積で一意化された代数多様体は，ある種の志村多様体の悪い還元を持つ素点として現れる．）
また weight-monodromy 予想の捩れ係数類似の応用として，局所体上の代数多様体が因子に対する Tate 予想類似を満たす場合に，その捩れ係数類似が導かれることと，Brauer 群の有限性を示した．局所体上の代数多様体についても，非自明な因子の存在を調べることとBrauer 群の有限性を調べることは直接関係があることがわかった．また，別の応用として，局所体上の代数多様体の余次元2の Chow 群の有限性との関係についても研究した．
上記の結果については，2019年9月にニセコで開かれた研究集会『Regulators in Niseko 2019』，2019年12月に京都大学で開かれた研究集会『Rational Points on Higher Dimensional Varieties』，2019年11月に Leibniz Universitat Hannover でのセミナー『Oberseminar Zahlentheorie und Arithmetische Geometrie』などにて発表をした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(因子に対する) Tate 予想は有限生成体上の代数多様体に関する予想であり，任意の局所体上の代数多様体に対しては，そのままの定式化では成立しないものもあれば，成立するものもある．正標数の有限生成体上の代数多様体に対する Tate 予想は Brauer 群のある種の有限性と同値であることが知られている．今年度では，局所体上の代数多様体で Tate 予想類似が成立するかどうかは，正標数の有限生成体上と同様に， Brauer 群のある種の有限性と関係があることがわかった．その結果を論文にまとめ，研究集会で講演を行なった．
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| Strategy for Future Research Activity |
局所体上の Drinfeld 上半空間の積で一意化された曲面が Tate予想類似を満たすかどうかについて，また非自明な因子を構成する手法について研究したい．商を取る前のDrinfeld 上半空間の積を，表現論，パーフェクトイド空間を用いて調べて構成する手法を想定している．非常に特殊な曲面ではあるが，非自明な因子を解析的に構成できる例となることを期待している．
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