線型群の作用のコンパクト化とその応用

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03199
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 齋藤 睦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (70215565)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: コンパクト化 / 線型群

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は，線型群の表現のコンパクト化を考え，その構造を明らかにすることにより線型作用の極限を統一的に扱うことを目指すことである。数学の多くの対象においてその線型変形の極限を考察することが良くあるので，この研究は多方面での応用が期待できる。本研究期間においては，応用面では主に超幾何微分方程式系の変形に適用することを目指している。

平成３０年度では，射影一般線型群の自然表現について，ボレル部分群に相当するものに関連する理論を中心に考察を進め，また，超幾何微分方程式系への応用の準備としては，以前に研究した単純リー代数のジョルダン リー部分代数の変形についての結果を本研究課題に即した言葉で書き換える予定であった。

射影一般線型群PGL(V)の自然表現をコンパクト化したものとして，既に，PM(V)というコンパクト空間で半群であるものを定義していた。平成３０年度では，まず，SがPGL(V)の部分群で，そのEnd(V)での閉包がEnd(V)の部分代数であるとき，SのPM(V)における閉包を記述した。これは，Sとして特にPGL(V)の部分トーラスやボレル部分群に適用できる。以前に研究した単純リー代数のジョルダン リー部分代数の変形では，半単純元による変形や冪単元による変形を行っていたので，この結果はそれらの変形の一般化を記述していると言える。また，BをPGL(V)のボレル部分群としたとき，PM(V)の任意のPGL(V)×PGL(V)軌道はBのPM(V)における閉包を通過することも示した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

おおむね当初の想定したところまで研究が進展した。

Strategy for Future Research Activity

引き続き、射影一般線型群の自然表現についての考察を深化させるとともに、射影一般線型群の色々な部分群について，そのPM(V)での閉包についての考察を行う。特に、超幾何微分方程式系への応用に向けて、特別な部分群のPM(V)での閉包についての考察を行う。

Causes of Carryover

ほぼ誤差の範囲の次年度使用額で，消費税増税や物価上昇も見込まれることから，計画を変更せず，当初の予定通り遂行する。