2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K03199
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
齋藤 睦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (70215565)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | コンパクト化 / 線型群 / 超幾何微分方程式系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，線型群の表現のコンパクト化を考え，その構造を明らかにすることにより線型作用の極限を統一的に扱うことを目指すことである。数学の多くの対象においてその線型変形の極限を考察することが良くあるので，この研究は多方面での応用が期待できる。本研究期間においては，応用面では主に超幾何微分方程式系の変形に適用することを目指している。
線型群の表現のコンパクト化への応用を見込んで，自己準同型環上の関数のテーラー展開の理論を考察した。これは，一般線型群の代数的部分集合のコンパクト化を考える際，その代数的部分集合を定義する多項式から一般線型群のコンパクト化PM(V)の部分集合を定義する関数を作り出すことを目的とする。
超幾何微分方程式系の理論については，大きな進展があった。確定特異点型の常微分方程式の古典的理論では，決定方程式の根として指数を求め，ジェネリックな場合には，それから局所基本解を構成できる。A-超幾何微分方程式系でも同様な理論をSturmfels氏，高山信毅氏と共同で以前考察した。常微分方程式の古典的理論では，ジェネリックでないとき，即ち，決定方程式の根の差が整数のときには，フロベニウスの方法と呼ばれる指数を微分する方法でLog解を構成できる。A-超幾何微分方程式系では，組織的なフロベニウスの方法に関する研究がなかったが，それについて一般的な定理を証明することができた。これにより，かなり一般の場合で，局所的な解空間を具体的に記述でき，今後のA-超幾何微分方程式系の様々な研究に活用することができる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
線型群の表現のコンパクト化そのものでは，あまり目立った進展はなかったが，応用面での主対象であるA-超幾何微分方程式系の研究で大きな進展があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
線型群の表現のコンパクト化については，一般線型群のいろいろな部分群に対してテーラー展開の理論を応用したい。
A-超幾何微分方程式系については，フロベニウスの方法の定理の改良と重要な特殊な例への適用を行いたい。
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| Causes of Carryover |
他の業務で多忙であったことと，新型コロナウィルス防止の観点から研究集会はオンラインとなるなど，出張が全く実行することができなかった。
新型コロナウィルスによる影響がおさまった後，次年度使用額で，積極的に研究集会へ参加し，研究交流を進展させたい。
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