2019 Fiscal Year Research-status Report
Study on the formal groups of low-dimensional Calabi-Yau varieties
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18K03200
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| Research Institution | Hokkaido University of Education |
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Principal Investigator |
後藤 泰宏 北海道教育大学, 教育学部, 教授 (40312425)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数論的代数幾何 / 形式群 / カラビ・ヤウ多様体 / デルサルト型多様体 / 国際研究者交流（カナダ） |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、正標数の体上定義され、K3曲面や楕円曲線によるファイブレーションを持った３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の特徴を調べることである。考察する形式群はいずれも１次元の形式群であり、高さと呼ばれる量によって分類される。本研究においては、各ファイバーの形式群と本体の形式群との間にどのような関係性があるかを調べた後、ファイブレーションを持つ３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さが取りえる値について考察する。
研究２年目の令和元年度は、K3曲面によるファイブレーションを持つ３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群について研究した。（重さ付き）Delsarte型多様体を用いて具体的な計算を行いながら、各ファイバーの形式群と本体である３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の間の関係性を考察した。その考察の中で、Berglund-Hubsch-Krawitz （BHK）ミラー対称性をもつカラビ・ヤウ多様体についても目を向けた。研究協力者の由井典子氏（クイーンズ大学教授）と打合せを持ちつつ次のような成果を得た。
（１）K3ファイブレーションを持つDelsarte型多様体について、各ファイバーの形式群と本体である３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さを計算した。（２）K3ファイブレーションを持つBorcea-Voisin型３次元カラビ・ヤウ多様体について、K3曲面と３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さを比較し、関係性を表す不等式を得た。（３）BHKミラー対称性を持つカラビ・ヤウ多様体のペアについて、両者の形式群の高さを比較した。
また、令和元年8月に「Workshop on Calabi-Yau Varieties and Related Topics 2019」を函館で開催し、その中で研究発表を行い、研究協力者の由井氏と研究打合せを行うとともに多くの研究者と情報交換を図った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和元年度は、K3曲面によるファイブレーションを持つ３次元カラビ・ヤウ多様体を研究対象とし、既存の結果（例えば、楕円型K3曲面に関するArtinの結果）を３次元に拡張することと、各ファイバーの形式群と本体である３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群との関係性を調べることを目標とした。既存の理論をK3曲面によるファイブレーションを持つ３次元カラビ・ヤウ多様体に拡張するという目標に対しては、まだ克服すべき課題が多く残ったが、各ファイバーの形式群と本体の形式群との比較においては、具体的な３次元カラビ・ヤウ多様体を用いて計算をすることができた。また、当初の計画にはなかったが、Berglund-Hubsch-Krawitzミラー対称性を持つカラビ・ヤウ多様体の形式群について考察を始めることができた。それゆえ、理論面での成果は十分には得られなかったものの、おおむね当初の目標を達成することができたと考える。
一方、研究発表等に関しては、令和元年8月に国際研究集会「Workshop on Calabi-Yau Varieties and Related Topics 2019」を函館で開催し、併せて研究発表を行うことができた。しかしながら、新型コロナウイルスの影響によって、令和2年3月に予定していたカナダでの研究打合せと研究発表を中止せざるを得ない状況となった。
以上を総合的に判断すると、研究発表において当初の計画に若干の遅れが生じているものの、研究全体としてはおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後もおおむね当初の計画通りに研究を進める予定である。研究計画の３年目に当たる令和2年度は、これまでに得た結果をもとに、３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さを計算し、具体的にどのような値が生じるかを調べるとともに理論面での考察も進める。主に楕円曲線によるファイブレーションを持つ３次元カラビ・ヤウ多様体を扱い、各ファイバーの形式群と本体の形式群との関係性について定式化を試みる。K3曲面によるファイブレーションを持つ３次元カラビ・ヤウ多様体については、ゼータ関数を利用した形式群の研究を継続する。
一方、理論面での考察に課題が多く出てきているので、場合によっては方向の修正を検討する。例えば、デルサルト型多様体の個別の考察に加えて、Berglund-Hubsch-Krawitzミラー対称性の観点を利用し、デルサルト型多様体をペアで考察することにより新たな研究の方向性を探る。
これまでと同様、計算ソフトMagmaを使った計算機実験も行う計画である。さらに、「Workshop on Calabi-Yau Varieties and related topics」を令和2年8月に台北で開催する予定であり、そこで研究発表を行うとともに多くの研究者と情報交換を行うことを計画している。研究協力者の由井氏とは、令和2年度もメールによって定期的に連絡を取り合い形式群に関する助言を求めつつ、日本、台北、及びカナダで１回ずつの集中的な打合せを予定している。成果発表は、国内と国外で１度ずつを予定する。
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| Causes of Carryover |
次年度には613,018円が繰り越されることとなった。その主な要因は、2020年3月に予定していたカナダでの研究打合せ及び成果発表が、新型コロナ感染症の影響で急遽中止となったことと、計算ソフトMagmaのライセンス更新を遅らせたことによる。また、謝金を伴う研究依頼の必要も生じなかった。上記繰越金については、令和2年度に計算ソフトMagmaのライセンス更新と令和2年8月に予定している台北での研究集会出席に充てる予定である。すでに配分予定の次年度及びそれ以降の研究費については、当初の予定通り使用する計画である。
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Research Products
(4 results)
