2021 Fiscal Year Research-status Report
テータ関数の特殊値の研究-代数的構造の解明とその応用-
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18K03201
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| Research Institution | Hirosaki University |
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Principal Investigator |
立谷 洋平 弘前大学, 理工学研究科, 准教授 (90439539)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 線形独立性 / 超越性 / 代数的独立性 / 約数関数 / 保型形式 / フィボナッチ数 / ルカ数 / 無限積 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和3年度に得られた研究成果は以下の通りである。
1. P. Erdos(1948)は約数個数関数を係数とするベキ級数を考察し、特別な有理数における値の無理数性を証明した。その後、F. Luca-立谷(2014)によって、Erdosの結果はより強く線形独立性にまで拡張された。一方、実数のq進展開の空隙を利用するこれらの研究手法は約数個数関数の整除性に強く依存するため、取り扱える代入点は一部の有理数に限られていた。本研究では、合同条件を付加した約数個数関数を係数とするベキ級数が生成する関数族に着目し、ベキ級数のレベルで空隙を持つ場合においては、代入点の条件を緩和できることを示した。特に、代入点としてある種の二次無理数を選ぶことによって、ルカ数列を含む無限級数の線形独立性に関する結果を得ることができた。本研究結果は、Daniel Duverney氏との共同研究によるものである。
2. 1996年、Yu. V. Nesterenkoは保型形式の代表例であるアイゼンシュタイン級数の値の代数的独立性に関する結果を示した。本研究では、Nesterenkoの結果を基盤とし、より一般の保型関数の特殊値に対して代数的独立性を導く判定基準を与えた。主定理は、関数値の代数的独立性が関数自身の性質に帰着されることを主張する。この結果により、デデキント・エータ関数値の有理式として表されるフィボナッチ数列とルカ数列を含む４つの基本的な無限積Π(1+1/F_n)、Π(1-1/F_n)、Π(1+1/L_n)、Π(1-1/L_n)はどの２つも有理数体上で代数的独立であることがわかった。更に、いくつかの無限級数や無限積に対しては非自明な代数関係式を見出すこともできた。本研究結果は、Daniel Duverney氏、Carsten Elsner氏、金子昌信氏との共同研究によるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルス感染拡大の影響により、海外共同研究者と長時間に渡っての対面での研究討議が行えず、研究活動が断続的となる期間があった。しかし、そのような状況でも、以前の共同研究において用いた保型形式論からのアプローチを精査し、昨年度までに得られた代数的独立性に関する結果を早い段階で拡張することができたことは大きな進展であった。研究実績の概要で述べた２つの結果について、それぞれ論文として取り纏めることができたことも研究が順調に進展している理由として挙げられる。いずれも結果も査読付き学術雑誌へ掲載されることが決定している。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要2で述べた代数的独立性判定基準の応用例を拡充したい。そのためには保型関数の特殊値として表される数の実例を数多く見つけることが必要である。フィボナッチ数列やルカ数列を含む無限積のように、この方向での研究によって新たなクラスの超越数が発見されることは十分に期待できる。次年度も、研究遂行のために継続して共同研究者と情報交換・共同討議を積極的に行う予定である。
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| Causes of Carryover |
海外共同研究者との研究打ち合わせや国際研究集会における成果発表を行うために旅費・招聘費を計上していたが、コロナ禍による渡航自粛・渡航制限により不使用になってしまったため次年度使用額が生じた。次年度使用額については、コロナ状況や世界情勢を考慮し、当初の研究計画に沿った形で旅費・招聘費または代替措置としてのオンライン設備費として使用する予定である。
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