2018 Fiscal Year Research-status Report
数論的Gan-Gross-Prasad予想の一般化とそのp進類似の研究
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18K03202
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
千田 雅隆 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (00451518)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三枝 洋一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70526962)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | p進L関数の特殊値 / p進Gross-Zagier公式 / Perrin-Riou予想 / p進Beilinson予想 / p進regulator |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は数論的Gan-Gross-Prasad予想の特別な場合のp進類似として捉えることができるBertolini-Darmon-Prasannaによるp進Gross-Zagier公式の総実代数体上への一般化の研究及び有理数体上の楕円曲線の円分的p進L関数の特殊値に関するPerrin-Riou予想の研究を行った. p進Gross-Zagier公式の研究に関しては台湾・中央研究院のMing-Lun Hsieh氏と共同で総実代数体上のユニタリ型志村曲線上の保型形式を用いた一変数反円分的p進L関数の構成を行った. 本研究で考察している反円分的p進L関数はBertolini-Darmon-PrasannaやCastella-Hsiehらによって構成されたp進L関数の総実代数体上への一般化と捉えることができ, 同時にLiu-Zhang-Zhangによって構成された総実代数体上の志村曲線のp進L関数の一般の重さの保型表現への拡張とも捉えることができる. また, 円分的p進L関数の特殊値を記述するPerrin-Riou予想については北海道大学の朝倉政典氏と共に研究を行い, 有理数体上の楕円曲線に対してsyntomic regulatorと円分的p進L関数のs=0での特殊値を比較する数値実験を行うことで, Perrin-Riou予想のより明示的な定式化を与えた. これまで, 具体的な場合にp進regulatorの数値計算を行うといった研究は行われてこなかったことから, (特殊な場合ではあるが)p進regulatorに対する数値実験を行う計算法を確立したこと自体が今回の新しい研究成果ということができる. さらに, 朝倉氏によるp進超幾何関数の特殊値とp進L関数の特殊値の比較に関する予想(Rogers-Zudilin公式のp進類似)がPerrin-Riou予想から導かれることも分かった.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度はBertolini-Darmon-Prasannaによるp進Gross-Zagier公式の一般化に関する研究を主に行う予定だったが, 楕円曲線の円分的p進L関数についてのPerrin-Riou予想に関する研究が大きく進展し, そちらの研究に特に時間をかけたこともあり, p進Gross-Zagier公式の研究は当初の予定よりやや遅れている状況である. また, 今年度はKatzのp進L関数に対する例外的零点予想の研究も行ったが, 他の研究グループが先に同様の研究を完成させていたことが明らかになったため, 全体として本研究課題の進展は計画よりも少々遅れていると判断した.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究において, 総実代数体上のユニタリ型志村曲線を用いたp進L関数が構成できたことから, 次に考えられる問題としてはBertolini-Darmon-Prasannaによるp進Gross-Zagier公式の総実代数体への一般化が挙げられる. これまでの研究において, 既に公式に必要な代数的サイクルの構成には成功しているため, p進Abel-Jacobi写像の下での像をColeman積分を使って記述し, p進L関数の特殊値と比較することが問題となる. この問題を解決するためにSerre-Tate座標を用いて研究を進めていく予定である. また, 次に考えられる自然な問題としてBloch-加藤予想やp進BSD予想, 岩澤主予想などへの数論的な応用が挙げられる. 今後はこれらの応用にも取り組んで行く予定である. さらにp進Gross-Zagier公式の高次元の場合への拡張も自然に考えられる課題である. U(3)×U(2)の場合に現在Prasanna, Skinnerらが研究を行っているが, それ以外の高次元の場合はあまり研究が行われていない状況である. また最近, サイズが同じユニタリ群に対する数論的Gan-Gross-Prasad予想がYifeng Liuによって定式化されたことから, この場合にもp進Gross-Zagier公式の類似を考察するということは非常に興味深い問題と考えられる.
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