2019 Fiscal Year Research-status Report
数論的Gan-Gross-Prasad予想の一般化とそのp進類似の研究
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18K03202
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
千田 雅隆 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (00451518)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三枝 洋一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70526962)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | p進Gross-Zagier公式 / 反円分的p進L関数 / 数論的対角サイクル / 志村曲線 / p進Beilinson予想 / p進regulator写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度も昨年度に引き続きBertolini-Darmon-Prasannaによるp進Gross-Zagier公式(BDP公式)の総実代数体上への一般化についての研究及び有理数体上の楕円曲線の円分的p進L関数の特殊値に関するp進Beilinson予想（Perrin-Riou予想とも呼ばれる）の研究を行った．BDP公式は一般化Heegnerサイクルと呼ばれる代数的サイクル（のp進Abel-Jacobi写像の下での像）と反円分的p進L関数の特殊値の関係を与える興味深い公式であり，昨年度は台湾・中央研究院のMing-Lun Hsieh氏と共同研究を行い，Bertolini-Darmon-Prasannaによる反円分的p進L関数の構成を総実代数体上の場合へ部分的に一般化した．今年度は一般化Heegnerサイクルの自然な拡張と捉えることができる代数的サイクルを（志村曲線上の）久賀-佐藤多様体上に構成し，総実代数体上で素数pが完全分解するという仮定の下でBDP公式を一般化することに成功した．なお，この代数的サイクルの構成は数論的Gan-Gross-Prasad予想における数論的対角サイクルの構成からアイデアを得ている．また，p進Beilinson予想の研究についてはボストン大学のRobert Pollack氏の協力を得て，critical slopeと呼ばれる場合にもp進Beilinson予想をいくつかの楕円曲線に対し，数値的に確かめることに成功した．さらに，ENS de LyonのFrancois Brunault氏の結果を用いることで，導手が24の楕円曲線に対して（円分的p進L関数のs=0での値に関する）p進Beilinson予想が成立することを証明した．さらに，p進Beilinson予想に関するこれらの結果は北海道大学の朝倉政典氏との共著論文として完成させることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は一つの目標であったBertolini-Darmon-Prasannaによるp進Gross-Zagier公式（BDP公式）の研究に関して大きな進展を得ることができた．BDP公式は本研究課題のテーマである数論的Gan-Gross-Prasad予想のp進類似の最も基本的なケースと考えることができ，総実代数体上の場合に拡張に成功したことは，より一般の場合を考察していく場合にも重要な示唆を与えると考えられるため，本研究は順調に進展していると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
数論的Gan-Gross-Prasad予想のp進類似はSO(4)×SO(3)の場合はDarmon-Rotger，SO(5)×SO(4)の場合はBertolini-Seveso-Venerucciらによって活発に研究が行われている．このように，いくつかの低いランクの直交群の場合の岩澤理論的な研究は盛んに行われているが，ユニタリ群の場合の研究はあまり行われていない状況である．このことから，ユニタリ群の場合にp進類似に関する考察を行うということが今後の一つの研究の方向性として考えられる. ユニタリ群の場合の数論的Gan-Gross-Prasad予想に関して，Liu-Tian-Xiao-Zhang-Zhuらによって重要な研究が行われているが，現状ではp進L関数などと関連付けた岩澤理論的な研究はあまり行われていないようである．肥田理論やColeman理論といったp進的な変形理論の視点を取り入れて岩澤理論的な研究を行うことで，より多くの応用が得られると考えられる．直交群に対する上記の研究結果に関しても，BSD予想やその一般化であるBloch-加藤予想などに対して様々な応用が期待できることから，今後はこれまでの研究の応用についても積極的に考察を進めていきたいと考えている．
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