有限次元超代数の原始冪等元が生成する射影直既約加群の構造の決定

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03203
• Research Institution: Ibaraki University
• Principal Investigator: 吉井 豊 茨城大学, 教育学部, 准教授 (90613141)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 代数群の表現論 / モジュラー表現論 / 原始冪等元 / 射影直既約加群 / 有限次元多元環

Outline of Annual Research Achievements

自身の過去の研究によって、正標数の体k上の代数群G=SL(2,k)の第r Frobenius核G_rの超代数Dist(G_r)における、原始冪等元を含むある種の元（以下B(a,j)で 表す）が得られている。この結果をもとに、以下の研究を行った。
①．G=SL(2,k)に対して、元B(a,j)で生成されるDist(G_r)-加群のある種の基底を構成することによって、その加群の頭と台がともに同型な既約加群であることを示した。この成果については国際学術雑誌「Journal of Algebra and its Applications」に掲載される予定である。
②．G=SL(2,k)に対して、Dist(G_r)の量子版である第r Frobenius-Lusztig核u_rにおいてB(a,j)に相当する元の構成を試みた。その結果、元は実際に構成することができ、これによりu_rにおいてもDist(G_r)と同様の議論ができることが期待される。この成果については近日中に国際学術雑誌に投稿する予定である。
③．G=SL(2,k)に対して、元B(a,j)で生成されるDist(G_r)-加群について、環の帰納系に対する「加群」の概念を導入することによりDist(G)-加群に持ち上げられることを証明することに成功した。この成果についても近日中に国際学術雑誌に投稿する予定である。
また、これらの研究と並行して、G_rのBorel部分群B_rに対応するDist(G_r)の部分多元環Dist(B_r)のある種の生成系を決定した。この成果はすでに国際学術雑誌に投稿し、現在査読中である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究そのものは当初の予想以上に進展しているが、上記の①に関する論文の査読が長期化したこともあり、②と③の成果についてまとめた論文の国際学術雑誌への投稿は今後行う予定であるため。

Strategy for Future Research Activity

今後は、次のような研究を予定している。
１．本研究②．で得られた元で生成される加群の構造の研究
２．本研究③．の結果の、一般の半単純代数群への拡張

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの感染拡大の影響で対面でのセミナーや学会の開催が中止となったためで、次年度の出張費や書籍購入に充てる予定である。