2022 Fiscal Year Research-status Report

有限次元超代数の原始冪等元が生成する射影直既約加群の構造の決定

Research Project

Project/Area Number	18K03203
Research Institution	Ibaraki University
Principal Investigator	吉井豊茨城大学, 教育学部, 准教授 (90613141)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2024-03-31
Keywords	代数群の表現論 / モジュラー表現論 / 原始冪等元 / 射影直既約加群 / 有限次元多元環
Outline of Annual Research Achievements	自身の過去の研究によって、正標数の体k上の代数群G=SL(2,k)の第r Frobenius核G_rの超代数Dist(G_r)における、原始冪等元を含むある種の元（以下B(a,j)で表す）が得られている。この結果をもとに、以下の研究を行った。 ①．G=SL(2,k)に対して、Dist(G_r)の量子版である第r Frobenius-Lusztig核u_rにおいてB(a,j)に相当する元の構成を試みた。その結果、元は実際に構成することができ、これによりu_rにおいてもDist(G_r)と同様の議論ができることが期待される。この成果については現在査読中の論文が雑誌に掲載され次第、国際学術雑誌に投稿する予定である。 ②．G=SL(2,k)に対して、元B(a,j)で生成されるDist(G_r)-加群について、環の帰納系に対する「加群」の概念を導入することによりDist(G)-加群に持ち上げられることを証明することに成功した。この成果については現在査読中の論文が雑誌に掲載され次第、国際学術雑誌に投稿する予定である。また、これらに並行して、以下の研究も行った。 ③G_rのBorel部分群B_rに対応するDist(G_r)の部分多元環Dist(B_r)のある種の生成系を決定した。この成果は国際学術雑誌Journal of Lie Theoryに2022年12月に掲載され、2023年3月の日本数学会年会においても口頭発表を行った。 ④Dist(G_r)やその主要な部分多元環について、Frobenius写像に関連したある線形写像を用いて、環の積によっていくつかの線形同型写像が定まることがわかった。この成果については、③の論文が掲載されたため、近日中に国際学術雑誌に投稿する予定である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason 研究そのものは概ね順調に進展しているが、現在査読中の1編の論文の査読が長期(すでに1年超)にわたっており、後続の研究成果をまとめた論文（特に本研究①および②）の国際学術雑誌への投稿が滞っている状態であるため。
Strategy for Future Research Activity	今後は、次のような研究を予定している。１．本研究①．で得られた元で生成される加群の構造の研究２．本研究②．の結果の、一般の半単純代数群への拡張
Causes of Carryover	新型コロナウイルスの感染拡大の影響で、多くの対面でのセミナーや学会の開催が中止やオンライン開催となったためで、次年度の出張費や書籍購入に充てる予定である。