2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03204
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
榎本 直也 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 准教授 (50565710)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 写像類群 / 表現論 / quasi-invariant / 超平面配置 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、曲面の写像類群に付随するJohnson準同型の表現論的な解明、quasi-invariantと超平面配置の関わりの表現論的な理解に関する研究を同時並行して進めた。
Johnson準同型は、曲面の写像類群のトレリ部分群を、シンプレクティック微分のなすLie環の中に近似するものである。この像の大きさを評価することは、写像類群に関する重要な問題のひとつである。Enomoto-Satohにより、従来から知られていたMorita障害を含むより大きなクラスを導入し、その大きさを表現論的な観点から測ることが可能になった。本年度は、特に、トポロジーの側から導入されたKawazumi-Kunoらによる新しい構造との比較を行った。Enomoto-Satohで同定したanti-Morita障害に加え、さらにシンプレクティック群の既約表現の系列が、両者のギャップに存在することを明らかにした。
quasi-invarinatは、Calogero-Moser系という量子可積分系の研究において精力的に用いられてきた概念で、多項式環とワイル群不変式環の間のフィルタレーションを与えている。本年度は、このquasi-invariantのなす環と超平面配置に付随する様々な概念との間の対応関係について研究を進めた。特に、超平面配置の自由性をquasi-invariantのなす環の表現論的な性質と結びつける結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
曲面の写像類群に付随するJohnson準同型の表現論的な解明においては、Enomoto-Satohにより導入したJohnson余核の大きさを定量的に評価する必要があった。これまでに、Moritaおよびanti-Morita障害についての結果やhook形の既約成分に関する具体的な結果を得ていた。本年度は、特にKawazumi-Kunoにより導入されたGoldman-Turaev Lie 双代数とTuraev 余括弧積を用いたJohnson余核の研究とEnomoto-Satohの結果の比較を行った。その結果、anti-Morita障害だけでなく、Enomoto-Enomotoで同定したhook形の既約成分のある系列でも、両者の間のgapがあることを示した。これらの結果を論文にまとめ、現在投稿中である。
quasi-invariantと超平面配置の関係を表現論的に理解する研究については、特に超平面配置の自由性とquasi-invariantのなす環の表現論的な構造との間に関係を見出すことができた。現在論文執筆中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
曲面の写像類群に付随するJohnson準同型の表現論的な解明においては、引き続きEnomoto-Satohにより導入されたJohnson余核のクラスについての研究を進める。Kawazumi-KunoによるJohnson余核の研究とのgapは、framingを導入することによってうめられることが、Alekseev-Kawazumi-Kuno-Naefによって明らかにされており、その表現論的な意味付けを与えることや、
Johnson像のgapを表現論的に評価する方法を、圏論化や幾何学的表現論の手法なども念頭に置きつつ模索する。
quasi-invariantと超平面配置の関係を表現論的に理解する研究については、超平面配置における重要な概念である原始微分を表現論の側から意味づける方向性を模索する。超平面配置を介して様々な幾何学的対象のつながりが示唆されており、例えばHessenberg多様体のコホモロジー環など、表現論的な手法を用いた記述などにも取り組む。
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| Causes of Carryover |
次年度、研究集会を開催し、研究者を招聘して研究打ち合わせを行う予定である。そのための経費として使用するため、一部を次年度に繰り越した。
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