トポロジー・可積分系への表現論的アプローチ

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03204
• Research Institution: The University of Electro-Communications
• Principal Investigator: 榎本 直也 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 准教授 (50565710)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 写像類群 / 表現論 / Johnson準同型 / quasi-invariant / 超平面配置 / 可積分系

Outline of Annual Research Achievements

本年度は、quasi-invariantのなす環の構造と超平面配置の自由性を有理チェレドニック代数の表現論を用いて解明する研究、曲面の写像類群に関するJohnson準同型の余核の構造を表現論的に解明する研究、および可積分系のソリトン解を幾何学的に解明する研究を行った。
quasi-invarinatは、カロジェロ・モーザー系という量子可積分系の研究において用いられてきた概念で、多項式環とワイル群不変式環の間のフィルタレーションを与えており、その構造は有理チェレドニック代数の表現論を用いて記述されている。quasi-invariantは、超平面配置の対数的ベクトル場を介して超平面配置の自由性に対する新しい結びつきを与える。Misha Feigin氏（University of Glasgow）、阿部拓郎氏（九州大学）、吉永正彦氏（北海道大学）と共同研究を進めた。
曲面の写像類群に関するJohnson準同型は、曲面の写像類群のトレリ部分群を、シンプレクティック微分のなすLie環の中に近似するものである。この像の大きさを評価することは、写像類群に関する重要な問題のひとつである。昨年、佐藤隆夫氏（東京理科大）、久野雄介氏（津田塾大）との共同研究で明らかになったframingの有無によって生じるgapについて、引き続き研究を行った。
また本年度は、可積分系のソリトン解の幾何学的な構造に関する新しい研究に着手した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

超平面配置の自由性とquasi-invariantに関して、Feigin-Abe-Yoshinagaとの共同研究を進めた。quasi-invariantは超平面配置に付随する対数的ベクトル場を介して超平面配置の自由性に結び付けることができる。quasi-invariantのなす環の構造を記述する有理チェレドニック代数の表現論を適用することにより超平面配置の自由性に対する新しい知見を得た。特に複素鏡映群のCoxeter配置に関する一般的な結果や新たな自由配置を得るなどの進展があった。現在論文にまとめている。
曲面の写像類群に付随するJohnson準同型の余核の構造の研究において、Enomoto-Satohにより導入した表現論的なアプローチは、余核の大きさを定量的に評価できる手法である。今年度は、昨年Enomoto-Kuno-Satohで明らかにしたframingの有無によるgapについてさらに定量的な評価を進め、現在論文にまとめている。

Strategy for Future Research Activity

quasi-invariantと超平面配置の関係については、有理チェレドニック代数の表現論側の様々な概念（例えばシフト函手）と超平面配置の構造との関わりや様々な拡張（例えば差分化）を解明することに引き続き取り組む。超平面配置と幾何学的な表現論の新しい交わりが期待される。
曲面の写像類群に付随するJohnson準同型の表現論的な解明は未だ完全な形になっていない。混合ホッジ構造やGrothendieck-Teichmuller群、幾何学的な表現論、圏論化などの手法やbraid群などの近接した対象の理解などに結び付け、引き続き取り組む。
今年度に着手した、可積分系のソリトン解の持つ表現論的/幾何学的構造に関する研究についても推進したい。

Causes of Carryover

今年度はコロナ禍で予定していた出張旅費等を全く支出しなくなったため次年度使用額が生じた。現時点で次年度は旅費および物品費としての使用する予定である。