トポロジー・可積分系への表現論的アプローチ

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03204
• Research Institution: The University of Electro-Communications
• Principal Investigator: 榎本 直也 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 准教授 (50565710)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 表現論 / 写像類群 / Johnson準同型 / 超平面配置

Outline of Annual Research Achievements

本年度は，Johnson準同型の理論に対する榎本-佐藤障害の類似物の研究や，quasi-invariantと超平面配置の自由性に関わる研究を引き続き行った．
Johnson準同型は，曲面の写像類群に付随するトレリ部分群や自由群の自己同型群に付随するIA-自己同型群といった対象を，中心列を用いて近似する方法のひとつである．写像類群の場合には，シンプレクティック微分のなすリー環，IA-自己同型群の場合には，自由リー代数の微分リー代数の中に近似するものであり，特にその大きさを具体的に評価するものとして導入したものが榎本-佐藤障害である．本年は，その類似物をマクール群や組紐群の場合についても考察し，対応するJohnson準同型の像の大きさを評価するいくつかの具体的な結果を得た．
quasi-invariantとは，多項式環と不変式環の間のフィルトレーションを与える構造で，量子可積分系の研究を起源のひとつとする対象である．一方で，超平面配置に付随する対数的ベクトル場の原始微分の係数に，quasi-invariantが自然に表れることに着目し，阿部-榎本-Feigin-吉永では有理Cherednik代数の表現論と超平面配置の自由性の間に新しい関係を見出した．本年は，特に原始微分との関連に着目し，その差分版などについて新しいいくつかの知見を得た．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Johnson準同型の類似を考察する観点から，マクール群についてのJohnson像やその大きさの評価についての具体的な結果を得て，論文を執筆し，現在投稿中である．また，さらに組紐群についての具体的な評価を計算し，先行研究との比較等も含めて，さらに研究を進めるための大きな手掛かりを得ることができた．
超平面配置に付随する原始微分の差分化について引き続き研究を進め，その具体的な表示に対する知見が深まりつつある．

Strategy for Future Research Activity

Johnson準同型の理論に対する「榎本-佐藤障害」の類似物を構成し，対応する群の大きさを表現論的な手法で評価する研究については，トポロジー側の様々な理論と表現論的な描像との比較をさらに精密に推し進める予定である．特に，榎本-佐藤障害で消えるクラスとJohnson像の差について研究を進める．
超平面配置に付随する原始微分に対する表現論的な研究については，原始微分の差分化等についてより明示的な記述を探るとともに，平坦構造などの幾何学的構造なども参照しながら，研究を進める．

Causes of Carryover

引き続きコロナ等の影響で，研究集会がオンライン開催となったり，出張の予定が変更となるなどの状況があったため，次年度使用額が生じた．次年度は出張等が既に予定されており，そのために使用することとしている．