2022 Fiscal Year Annual Research Report
Combinatorics related to representation theory and enumeration of paths
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18K03206
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
沼田 泰英 北海道大学, 理学研究院, 教授 (00455685)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 強レフシェッツ性 / 重み付き母関数 / Hilmann-Grasslアルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度においては, グラフのマッチングの重み付き母関数により定義されるアルチンゴーレンシュタイン環について考察をし, 特に完全グラフ内のマッチングから決まる環の強レフシェッツ性を示しプレプリントとして報告した. 標数0の体上の多変数多項式環を考えたとき, 斉次多項式の消去イデアルは次数付きイデアルとなり, その剰余環はアルチンゴーレンシュタイン環となる. この環は, ポアンカレ双対性とよばれる非退化二次形式を持っており, コホモロジー環の類似物と思うことができる. コホモロジー環のVolume formに相当するものが, 消去イデアルを定義する斉次多項式である. この環は, 一般には幾何的な対応物があるとは限らないものの, 良い性質を持っていることが期待できる. 定義に用いる多項式として, 完全グラフ内のマッチングの重み付き母関数を考え, 高次ヘッセ行列の特殊値について研究を進めた. この環の高次ヘシアンの計算が, 基本対称式の高次ヘシアンに帰着できることがわかった. この研究の成果として, コホモロジー環においてHard Lefschetz Theoremとして知られる性質を, この環が満たしていることを示した. 基本対称式は, 一様マトロイドの基底母関数であり, これらの間に某かの良い関係が期待できることが示唆されている.
期間全体では, グラフ上のパスの数え上げとしてHilmann-Grasslアルゴリズムを再定義する研究をまず行った. そこでのグラフに関する知見を活かし, グラフから決まるトグリング群の構造に関する研究, グラフから決まる多面体の面に関する研究, グラフの情報から決まるアルチンゴーレンシュタイン環の強レフシェッツ性に関する研究を進め, それぞれに研究成果を得た.
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