2020 Fiscal Year Research-status Report
Bicategorical covering theory and derived equivalence classifications
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18K03207
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
浅芝 秀人 静岡大学, 理学部, 教授 (70175165)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 被覆理論 / 圏の擬作用 / グロタンディーク構成 / 次数付け / スマッシュ積 / 導来同値 / 2-圏 / 擬関手 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以下、Gを群、Iを小圏とし、kを可換環とする。また、k-小圏 [微分次数k-小圏] 全体、それらの間の関手全体と自然変換のなす2-圏をk-Cat [k-DGCat] とおく。導来同値の貼り合わせ理論を、以下のように微分次数k-圏に拡張した。すなわち、G作用を持つ微分次数圏Cおよびそれらの間の射f: C → C'、射の間の自然変換からなる2-圏G-DGCatの設定を、Iからk-DGCatへの余弱関手(colax functor) Xおよびそれらの間の射(F,φ): X → X'、射の間の自然に定義される2-射からなる2-圏Colax(I,k-DGCat)の設定に一般化し、G-DGCatの射fに対する擬同値の定義を、Colax(I,k-DGCat)の射(F,φ)に対する擬同値の定義に拡張した。次にColax(I,k-DGCat)の対象Xに対するI-不変傾部分余弱関手を定義し、XとX'が導来同値であることの定義を自然に与えた。さらに、XのGrothendieck構成の定義をこれまでの定義を拡張するようにして与えた。このとき、Gr(X)は各X(i) (iはIの対象)の貼り合わと解釈でき、以下の(1), (2), (3)において(1)=>(2)=>(3)が成り立つという定理を証明した（この定理では簡単のためkを体とする）。
(1) X, X'は導来同値である。
(2) X'は、Xに対するI-不変傾部分余弱関手Tに擬同値である。
(3) Gr(X)とGr(X')は導来同値である。
Iの各対象iに対して、(2)のTが対応させるT(i)はX(i)に対する傾部分圏であり、X'(i)はそれに擬同値となっている。それらの導くX(i)とX'(i)の間の導来同値が(3)において貼り合わされる。ここで重要なのは、(2)=>(3)で、(1)は(2)の意味づけを与える。(2)=>(1)も成り立つと予想される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の主目的は、(i) 擬関手X,X': I →k-Cat に対して、Iの各元iに対する、X(i)とX'(i)の間の導来同値を貼り合わせて、それらのGrothendieck構成Gr(X)とGr(X')の導来同値を構成することと、(ii) 逆にI次数付き線形小圏BとB'の間の導来同値が与えられたとき、それらのI被覆の間に導来同値を構成すること、(iii) およびそれらの間の相互関係を調べることにあるが、昨年度は(i)の構成を微分次数圏に拡張したものである。そのため主目的自身に限定するという意味では前進しているとはいえないかもしれないが、微分次数圏という重要な対象に対して理論を拡張でき応用範囲が飛躍的に広がった。したがって幅広く目的を遂行するという意味で、概ね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
微分次数圏について得られた昨年度の定理をまとめて論文として発表する。また昨年度に計画していたように、圏の階層を使う方法を，両側加群による導来同値の貼り合わせについての結果に応用し，この研究を完成する。そのために適度2以上の圏（普通の圏は軽度の圏とよばれ，対象集合も対象間の射集合もある固定した宇宙の部分集合になっているとき適度1の圏とよばれるが，これはそれよりも大きい圏）についてもテンソル積の存在定理を一般化しておく。すでに発表している関手による導来同値の貼り合わせにもこの方法を適用して，その議論を正当化する。目的(iii)の、擬関手X: I →k-Cat に対して、X とGr(X)#I は同値になるかどうかという問題はすでに解けているので，これにも上の方法を適用して，論文にまとめる。さらに目的(ii)の問題を解くことに着手する。
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| Causes of Carryover |
計画していたドイツでの半年間の在外研究、および国内の出張がすべて、新型コロナウイルス感染症のパンデミックにより中止となり、予定していた旅費が使用できなかった。また、対面でのセミナーが実施できないため講演への謝金も不要となったため、残額を次年度に使用することにした。今後もセミナーは遠隔での開催が多くなると予想されるため、旅費は小規模な研究連絡に当てる。また予算をZoom等の遠隔セミナーに必要な機器やソフトウェアーおよび書籍の購入に当てる。
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