2022 Fiscal Year Research-status Report
Bicategorical covering theory and derived equivalence classifications
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18K03207
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
浅芝 秀人 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (70175165)
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2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 被覆理論 / 圏の擬作用 / グロタンディーク構成 / 次数付け / スマッシュ積 / 導来同値 / 2-圏 / 擬関手 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以下、Gを群、Iを小圏とし、kを可換環とする。また、k-小圏 [微分次数k-小圏] 全体、それらの間の関手全体と自然変換のなす2-圏をk-Cat [k-dgCat] とおく。前年度において，導来同値の貼り合わせ理論を、以下のように微分次数k-圏に拡張していた。すなわち、Iからk-dgCatへの余弱関手(colax functor) XとX’に対して，XのGrothendieck構成をGr(X)で表すとき、以下の(1), (2), (3)において(1)=>(2)=>(3)が成り立つという定理を証明していた（簡単のためkを体とする）。
(1) X, X'は導来同値である。
(2) X'は、Xに対するI-不変傾部分余弱関手Tに擬同値である。
(3) Gr(X)とGr(X')は導来同値である。
本年度は，(1)を強めた条件(1’)として，X’はXに標準的に導来同値であるという条件，すなわち，X’の微分次数加群圏余弱関手からXの微分次数加群圏余弱関手への射の導来関手としてX’の導来圏余弱関手からXの導来圏余弱関手への同値が与えられる，という条件を考え，実はこれと(2)が同値になっていることを証明した。さらにこの同値はXやX’にkフラットなどの条件を課すことなく一般的に証明できたので，kが体という条件も不要になった。この結果と前年度の結果を合わせて1つの論文として投稿した。さらにその応用例を与えるために，Xが関手である場合について，XのGrothendieck構成を計算する方法を与えた。Ginzburg微分次数圏に応用するために，完備化についても計算法を与えた。現在，応用例を計算しているところである。
以上の他に，前被覆関手を系統的に導くために，2関手を用いた統一的な定理を証明することができた。これについては現在論文を準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の主目的は、(i) 擬関手X,X': I →k-Cat に対して、Iの各元iに対する、X(i)とX'(i)の間の導来同値を貼り合わせて、それらのGrothendieck構成Gr(X)とGr(X')の導来同値を構成することと、(ii) 逆にI次数付き線形小圏BとB'の間の導来同値が与えられたとき、それらのI被覆の間に導来同値を構成すること、(iii) およびそれらの間の相互関係を調べることにあるが、一昨年度からは(i)の構成を微分次数圏に拡張している。そのため線形圏に限定した意味では前進しているとはいえないかもしれないが、微分次数圏という重要な対象に対して理論を拡張でき応用範囲が飛躍的に広がった。また，本年度は，単なる導来同値を，標準的同来同値に強めることにより，その特徴付けを与えることもできた。さらに，例を計算するための，Grothendieck構成の計算方法もXが関手である場合に与えることができた。また，被覆理論を応用するために，2関手を用いた系統的な前被覆の構成法も見つけることができた。したがって幅広く目的を遂行するという意味で、概ね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般の小圏Iからの関手X: I → k-dgCatに対して求めた，Grothendieck構成Gr(X)の計算法の応用例を与える。また、これまでに得られている主目的に関する結果（両側加群による導来同値の貼り合わせ，およびCohen-Montgomery双対性の両側加群への一般化）をできるだけ論文として出版する。そのためにも，圏の階層を使う方法を用いて，適度2以上の圏（対象集合も対象間の射集合もある固定した宇宙の部分集合になっているとき適度1の圏とよばれるが、これはそれよりも大きい圏）についてもテンソル積の存在定理を一般化しておく。目的(iii)の、擬関手X: I →k-Cat に対して、X とGr(X)#I は同値になるかどうかという問題の解答にもこの方法を適用して整理し，論文にまとめる。さらに目的(ii)の問題を解くことに着手する。これ以外に，2関手を用いる前被覆の構成法をまとめ，これを応用する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症のパンデミックにより外国の出張が中止となり，予定していた旅費が使用できなかったため，残額を次年度に使用することにした。今後，セミナーは対面開催と遠隔同時開催が多くなると予想されるため，予算は，おもに旅費に当て，その他，遠隔セミナーに必要な機器やソフトウェア－および書籍の購入に当てる。
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