2019 Fiscal Year Research-status Report
対称関数の代数的組合せ論とその表現論，数え上げ組合せ論への展開
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18K03208
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (40243373)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 対称関数 / 組合せ論 / 表現論 / 平面分割 / 半順序集合 / 凸多面体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究では，対称関数の代数的組合せ論（特に対称関数の関係式）の組合せ論，表現論への展開を目指し，(A) 古典型ルート系に付随した Schur Q 関数，(B) 平面分割の母関数，(C) d-complete な半順序集合の組合せ論，の 3 つのパートに分けて研究を進めた．
今年度の研究のパート (A) では，Hamel, King によって組合せ論的に定義された直交群，斜交群に対する factorial Q 関数に代数的な表示式を与えた．パート (B) では，ある種の平面分割の数え上げ問題に関する共同研究を開始し，このプロジェクトに関連して，非退化とは限らない交代双線型形式を保つ群 (intermediate symplectic group) のある種の直既約表現の指標に対して，Weyl 型の指標公式（行列式の比としての表示）を見出した．パート (C) では，d-complete な半順序集合の基本的な例であるミニスキュール半順序集合に付随した双有理版 rowmotion と呼ばれる力学系において，順序イデアルの元の個数の双有理版 homomesy（およびその精密化）に（具体的な表示式や計算機を用いない）統一的な証明を与えることに成功した．また，土谷との共同研究において，大杉・土谷によって導入された半順序集合に付随した 2 種類の凸多面体の間に区分線型な全単射を構成し，両者の Ehrhart 多項式が一致することに全単射による証明を与え，この全単射を用いて，これらの凸多面体の三角形分割を具体的に構成した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
パート (C) について，昨年度までの研究では双有理版 rowmotion における順序イデアルの元の個数の双有理版 homemesy を統一的な形で定式化できたものの，双有理版 rowmotion の具体的な表示式や計算機を用いた証明しか与えることができなかった．今年度の研究では，この homomesy に簡明な統一的証明を与えることに成功した．また，パート (B) についても新しい方向性を見出すことができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
パート (B) では，得られた Weyl 型公式の組合せ論，表現論への応用を目指す．また，パート (C) では，双有理版 rowmotion における反鎖の元の個数の双有理版 homomesy の Lie 理論的な統一的定式化が課題として残されている．
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| Causes of Carryover |
参加予定の国際研究集会が中止，あるいは延期となったことなどにより，次年度使用額が生じた．次年度分と合わせて旅費などに使用する予定である．
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