2020 Fiscal Year Research-status Report
対称関数の代数的組合せ論とその表現論，数え上げ組合せ論への展開
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18K03208
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (40243373)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 対称関数 / 組合せ論 / 表現論 / 平面分割 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究では，対称関数の代数的組合せ論（特に対称関数の関係式）の組合せ論，表現論への展開を目指し，(A) 古典型ルート系に付随した Schur Q 関数，(B) 平面分割の母関数，(C) d-complete な半順序集合の組合せ論，の 3 つのパートに分けて研究を進めた．
パート (A) では，これまでの研究に引き続いて，Schur が対称群の射影表現の研究において導入した Schur の Q 関数の C 型類似を扱った．C_n 型ルート系に付随した Q 関数として Weyl 群不変な n 変数 Laurent 多項式が得られるが，今年度の研究では，この Laurent 多項式の対称関数（無限変数対称式）への持ち上げを定義し，さまざまな性質，公式を導出した．また，この対称関数の積，余積の構造定数などの正値性予想を定式化するとともに，特別な場合にその証明を与えた．パート (B) では，ある種の平面分割の数え上げ問題を動機として，非退化とは限らない交代双線型形式を保つ群 (intermediate symplectic group) のある種の直既約表現の指標を扱った．今年度の研究では，これらの指標に対して，いくつかの Jacobi-Trudi 型行列式表示，Weyl 型指標公式（行列式の比としての表示，昨年度の研究で発見したものより扱いやすいもの）を見出した．そして，この Weyl 型指標公式を用いて指標の和の分解公式を証明することによって，動機となった平面分割の数え上げ問題（Hopkins の予想）を解決するとともに，その拡張を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
C 型ルート系に付随した Q 関数について，有限変数版，無限変数版ともに，Schur の Q 関数と同様の組合せ論的理論をほぼ満足できる形で展開できた（正値性予想の証明や Cauchy 型公式の定式化などの課題も残っているが）．また，ある種の平面分割の数え上げに関する Hopkins の予想を証明でき，その公式の積構造の由来を明らかにすることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
パート (A) で定式化した斜交 Q 関数に対する正値性予想の証明を目指す．また，パート (B) で得られた指標の和の分解公式の証明の簡易化にも取り組む．
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| Causes of Carryover |
参加予定の国際研究集会が中止，あるいは延期となったことなどにより，次年度使用額が生じた．補助事業期間を延長し旅費などに使用する予定である．
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Research Products
(9 results)
