2021 Fiscal Year Research-status Report
対称関数の代数的組合せ論とその表現論，数え上げ組合せ論への展開
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18K03208
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (40243373)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 対称関数 / 組合せ論 / 表現論 / 平面分割 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究では，対称関数の代数的組合せ論（特に対称関数の関係式）の組合せ論，表現論への展開を目指し，(A) 古典型ルート系に付随したSchurのQ関数，(B) 平面分割の母関数，(C) d-complete な半順序集合の組合せ論，の3つのパートに分けて研究を進めた．
パート(B)では，概長方形型Young図形に対応する古典群の既約表現のテンソル積，部分群への制限について，小行列式の和公式を用いてKrattenthalerの結果に代数的な別証明を与え，既約分解の具体的な記述を簡易化した．そして，ある種のテンソル積における重複度と部分群への制限における重複度が一致することを見出した．また，異なる系列に属する古典群の概長方形型既約指標の積の分解についても同様の分解公式を与え，平面分割の数え上げ問題に応用した．
さらに，Huh, Kim, Krattenthalerとの共同研究において，Schur関数の無限和を1つの行列式として表すGordon-Bender-Knuthの等式の一般化を考察し，長さ奇数の行の個数に関する重みをつけた精密化を得た．関連して，制限を課した標準盤の個数に関するZeilberger, Eu-Fu-Hou-Hsuの結果に直交群の表現論を用いた別証明を与え，Kim-Lee-Ohの結果の精密化した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
長方形型Young図形の場合の議論を概長方形型Young図形の場合に拡張することができ，対応する既約表現のテンソル積，部分群への制限の分解の記述を簡易化することに成功した．また，組合せ論への応用も得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
概長方形型Young図形に対応する古典群の既約表現の指標のテンソル積，部分群への制限の証明は基本的にランク2の古典群の場合に帰着されるが，その場合の証明が煩雑な計算に基づいており，この部分を簡易化する必要がある．
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症の影響で，参加を予定していた研究集会が中止・延期・オンライン開催となり，また研究打ち合わせのための海外渡航も制限されたため，次年度使用額が生じた．補助事業期間を延長し共同研究者との研究打ち合わせなどの旅費に使用する予定である．
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Research Products
(8 results)
