2022 Fiscal Year Annual Research Report
Algebraic Combinatorics of Symmetric Functions and its Applications to Representation Theory and Enumerative Combinatorics
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18K03208
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (40243373)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 対称関数 / 組合せ論 / 表現論 / 可積分系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究では，対称関数の代数的組合せ論（特に対称関数の関係式）の組合せ論，表現論への展開を目指し，(A) 古典型ルート系に付随したSchurのQ関数，(B) 平面分割の母関数，(C) d-completeな半順序集合の組合せ論，の3つのパートに分けて研究を進めた．
2022年度の研究のパート(A)では，SchurのQ関数に関する水川-中島-山田の予想を証明した．この予想は，佐藤-毛織によってKdv方程式，変形KdV方程式の研究の中で導入された関数（を対称関数とみなしたもの）がSchurのQ関数に一致するというものであり，今年度の研究では小行列式の和公式やSchurのQ関数の母関数を活用することによってこの予想の証明に成功した．
また，パート(B)では，Huh, Kim, Krattenthalerとの共同研究を継続した．Schur関数の無限和を1つの行列式として表すアフィン版Gordon-Bender-Knuth型等式について，偶数次直交Lie代数，斜交Lie代数のある種の既約表現の一般線型Lie代数への制限の分岐則を導くような変種を見出すとともに，これらを統一的に照明する枠組みを与えた．
研究期間全体では，パート(A)で，多項式列に付随して定まる一般化されたQ関数，C型ルート系に付随したQ関数についてさまざまな公式を導き，いくつかの正値性予想を提示した．パート(B)では，中間斜交指標のWeyl型指標公式を見出し，ある種の平面分割の数え上げ問題への応用を与えた．パート(C)では，ミニスキュール半順序集合に付随した双有理版rowmotionと呼ばれる力学系においてある種のhomomesyとその精密化を証明した．
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Research Products
(10 results)
