2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K03211
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山木 壱彦 京都大学, 国際高等教育院, 准教授 (80402973)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非アルキメデス的幾何 / ベルコビッチ空間 / トロピカル幾何 / アラケロフ幾何 / 凸幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アラケロフ幾何における基本的アイデアは，代数体上の対象に対し，そのアルキメデス的素点における複素解析空間上の対象に計量を入れて考えることにより「コンパクト化」する点にある．そして，必然的に，微分幾何的・函数解析的手法を使って算術幾何を展開することになる．アルキメデス的素点には複素解析空間が付随しているという視点を非アルキメデス的素点上に敷衍すると，そこにはベルコビッチ空間が付随している．これにより，アラケロフ幾何においてベルコビッチ空間の幾何を研究することは重要な位置を占める．そこで，本研究課題においては，このベルコビッチ空間の幾何的研究が重要となる．
ベルコビッチ空間の幾何的側面の研究を行うには，トロピカル幾何の研究が重要となる．トロピカル多様体とは，空間としては多面体的複体の構造をもった位相空間で，トロピカル化とはベルコビッチ空間の「無限に繁茂した」構造を有限の多面体的複体構造で近似するものと考えられているためでさる．
当該年度において，2018年度に引き続き，トーリック多様体のトロピカル化，すなわちトロピカルトーリック多様体とその因子の研究をさらに進展させた．さらに，一般のトロピカル多様体の因子の概念の導入とその基本性質の研究を進めた．
当該年度の研究においてとくに強調すべき点は，トロピカル多様体をその底空間のみに着目するのではなく，代数幾何的視点から「構造」に注目した点である．先行研究として，何等かの意味での「トロピカル多様体」に「構造層」を乗せたものは考えられてはいるが，それらは代数幾何的視点からは不十分な点もある．本研究で，より適切と思われる「構造層」を導入し，「トロピカル代数多様体」の再基礎づけを行っている．それによって，よりシステマティックにトロピカル幾何の理論を整備できることが期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度の研究はトロピカル幾何に関するものが多くベルコビッチ空間の研究は十分進んではいないが，トロピカル幾何に新たな視点を構築できつつあり，次年度以降にベルコビッチ空間への応用が期待できるため．
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| Strategy for Future Research Activity |
トロピカル幾何のベルコビッチ空間への応用を念頭に，Gubler氏他国内外の研究者と議論を進めながら研究を推進していく．
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| Causes of Carryover |
2019年度末に新型コロナウイルス感染症感染拡大の影響で，研究打ち合わせ等を次年度に延期した．2020年の9月以降に，打ち合わせ等を再設定する予定である．
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