非アルキメデス的幾何のアラケロフ幾何への融合

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03211
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 山木 壱彦 筑波大学, 数理物質系, 教授 (80402973)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: トロピカル幾何 / ベルコビッチ空間 / スケルトン / テータ函数

Outline of Annual Research Achievements

非アルキメデス幾何における重要な空間概念の一つとして、ベルコビッチ解析空間がある。この空間は、位相空間として比較的扱いやすい性質をもっており、例えば測度論的議論が可能であるなど、古典的には複素解析空間でなされていた議論の類似が可能となる。こうした性質により、近年では、アラケロフ幾何において無限素点上の複素解析空間の有限素体上の代替物として、重要な役割を果たしており、その性質を研究することは重要となっている。
ベルコビッチ解析空間を調べるにあたって、その有限近似である「トロピカル化」を研究することは有意義である。「トロピカル化」と表される概念には二種類あって、一つはベルコビッチ空間においてその主要部分になり得る「スケルトン」、もう一つは、付値写像による像として現れる多面体的複体（トロピカル多様体）である。これらは互いに異なる対象ではあるが、共に（少なくとも区分的には）整構造をもった多面体が組み合わさった構造をしており、似た部分も多い。
この二つが単に似ているというだけでなく、実際に適当な意味で「（ほぼ）同一である」ということを見出す問題として、「忠実トロピカル化問題」が知られている。この問題は、スケルトンをトロピカル射影空間に「埋め込む」問題と言い換えることもできる。
当該年度においては、非アルキメデス的体上で定義されたアーベル多様体に対して、その標準的スケルトンを、非アルキメデス的テータ函数を使って忠実トロピカル化する問題について、共同研究者と共に考察した。その結果、古典的な複素数体上の結果（テータ函数でアーベル多様体を射影空間に埋め込む話）と類似した現象が観察された。この研究が現在進行中であり、近いうちに公表できると考えている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

Covid19の世界的広がりにより、国際的に情報収集や意見交換を行うことが難しい状況にあったのは、主因である。ただ、昨年度後半からは状況も改善しており、遅れは小規模にとどまった。

Strategy for Future Research Activity

共同研究者との議論を密にとるため、可能な限り対面で議論を行う。そのための出張を計画している。
研究課題の研究内容について、国内外の研究者に公表し意見交換することは、更なる研究推進のためには必要不可欠である。そのため、国内外に出張することを予定している。
現在進行中の研究は完成に近づいており、今年度には結果を論文にまとめ公表する予定である。論文として公表することによる波及効果により意見交換はより促進されると期待している。

Causes of Carryover

Covid19の影響で国内外への出張が十分にできず、次年度使用額が生じた。今年度は状況が改善され、国内外の研究会の参加や研究打ち合わせを目的とした出張の計画が、十分にたっている。