2018 Fiscal Year Research-status Report
Efficient algorithms in computational algebraic analysis and deformations of singularities
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18K03214
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| Research Institution | The University of Tokushima |
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Principal Investigator |
鍋島 克輔 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 准教授 (00572629)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 半擬斉次孤立特異点 / 特異点変形 / integral dependence / イデアル所属問題 / 包括的グレブナー基底系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
半擬斉次多項式fのs乗のゼロ化イデアルを計算するための効率的アルゴリズムの構成を目標に研究を行っている。これは、半擬斉次孤立特異点の性質を利用し計算効率を上げる方法である。元々のアイデアは1980年代の論文であるが、そこに書かれている計算はアルゴリズム化されてないことより、計算機代数と特異点論を用いてアルゴリズム化し計算機に実装することが目的である。
1年目では、アルゴリズム化する際に必要となる局所環での「イデアル所属問題判定」「拡張イデアル所属問題」「integral dependence relation計算」の効率的アルゴリズムが構成できた。これらは、本研究の目的のために必要な道具であったが、単独の研究テーマとしても独立したものであると共に基礎的なものより、こらの計算アルゴリズムを構成したことは計算機代数学はもとより、多くの数学の分野に役立つと思われる。もちろん、これにより主目的までの距離が近くなった。
また、先行研究で得られているfのs乗のゼロ化イデアル計算アルゴリズムを、特異点の変形理論に対応すべくパラメータ版に拡張した。これは、PBW-代数での包括的グレブナー基底系を利用した方法である。この拡張版を用いて、inner modality 2の場合の特異点変形におけるBernstein-佐藤多項式を世界で初めて全て求めることができた。
本研究に付随する対数的ベクトル場の計算法に関する研究と、計算機代数の道具についても計算法を確立することが出来ている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
半擬斉次多項式fのs乗のゼロ化イデアルを計算するための効率的アルゴリズムの構成においては、必要な理論・道具は8割ぐらいは構成できた。具体的には「イデアル所属問題判定」「拡張イデアル所属問題」「integral dependence relation計算」の構成である。また、関連する研究として包括的グレブナー基底と根のチェック法を用いてBernstein-佐藤多項式を計算する方法も確立した。
研究計画書に書いた計画よりも研究は順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
主目的である「半擬斉次多項式fのs乗のゼロ化イデアルの効率的な計算アルゴリズム」の構成と計算機への実装を行う。「generalized integral dependence relation計算アルゴリズム」をまず構成し主目的の達成をしたい。また、全ての計算ステップはパラメータが介在しても計算可能なことより、パラメータを含む場合へ計算法の拡張も行う。
1年目で得られたinner modality 2の場合のBernstein-佐藤多項式の計算法は、inner modality 2の場合は有効であったが、inner modality 3の特異点に対しては、fのs乗のゼロ化イデアルを求めることが出来なかった。実際、最新の計算機を用いても3か月以上を要すし、inner modality 3の場合の結果は得られていない。すなわち、inner modality 3の場合には本研究の主目的である「半擬斉次多項式fのs乗のゼロ化イデアルを計算するための効率的アルゴリズムの構成」が必要となる。
アルゴリズムが構成できれば、解析的不変量であるinner modality 3の半擬斉次孤立特異点のBernstein-佐藤多項式を計算する。
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