2020 Fiscal Year Research-status Report
Efficient algorithms in computational algebraic analysis and deformations of singularities
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18K03214
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| Research Institution | The University of Tokushima |
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Principal Investigator |
鍋島 克輔 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 准教授 (00572629)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 包括的スタンダード基底系 / 対数的ベクトル場 / 特異点 / ネター作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度は特異点を代数解析と数式処理の立場から研究し、多くの研究成果が出た。「D. Barlet のregular meromorphic differential forms とK. Saito のlogarithmic residues を計算するアルゴリズムの構成」、「有理関数体上の包括的スタンダード基底系を用いた特異点変形による不変量の計算アルゴリズム」、「特異点変形に付随したk-不変量の計算アルゴリズム」、「特異平面代数曲線に沿う対数的ベクトル場とCamacho-Sad-Suwa 指数について」、「ネター作用素を用いた零次元準素イデアル成分の表現法と計算アルゴリズム」の以上が2020年度の研究成果である。
研究代表者自身の先行研究で得られている対数的ベクトル場計算アルゴリズムを用いることにより、K. Saito のlogarithmic residues を計算する効率的なアルゴリズムが構成可能であることがわかり、今まで計算できなかった複雑なものを計算できるようにした。同様に、先行研究で得られた対数的ベクトル場を用いることで「Camacho-Sad-Suwa 指数について」の研究結果も得られる。
研究代表者の得意とするパラメータ付き数式処理の理論と有理関数体上の計算を組み合わせることにより、ジェネリックと呼ばれる状態のパラメータ依存性を計算する方法を確立し「特異点変形に付随したk-不変量」の計算を行った。この計算法は、他の数学的対象に対しても通用する基本的な計算法であり、これは計算特異点論において大きな成果である。
新たな計算機代数を目指し、ネター作用素と呼ばれるある種の偏微分作用素を用いて、多項式環のイデアルを表現し、計算機代数学（数式処理）の理論を書き換えることを行っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度までに半擬斉次特異点の性質を利用したAnn(f^s)とb-関数の計算アルゴリズムを構成した。また、その研究に付随した数式処理の基本技法の開発と、特異点解析アルゴリズムの研究も順調に進んでいる。研究を始める前に想定していたことよりも、多くのものに関連があり、関連するものの研究も同時並行で行っている。
当初予定していた研究内容は9割ほど終わり、予想通りの良い結果が得られている。半擬斉次特異点の性質を利用したAnn(f^s)とb-関数のより良い実装と、パラメータ版への拡張の実装が残っているだけである。これは最終年度に行う予定である。
本研究課題からは、想定よりも多くの結果が次々と得られており、その多くが論文としてすでに出版されている。この状況から、本研究課題はおおむね順調に進行しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初予定していた研究内容の大半は、予想通り進んでおり良い結果が得られている。半擬斉次特異点の性質を利用したAnn(f^s)とb-関数のより良い実装と、パラメータ版への拡張の実装、計算実験がまだ残っているがこれは最終年度に行いたい。理論はすでにできているので、これは実行可能であると思われる。実装が終わり次第、inner modality 3 以上の半擬斉次特異点のb-関数の特異点変形におけるパラメータ依存性を計算する。
上記の研究が終わり次第、新たな計算機代数の理論展開を目指し、ネター作用素と呼ばれるある種の偏微分作用素を用いた数式処理アルゴリズムの構成を行う研究を行う。
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Research Products
(19 results)
