2022 Fiscal Year Annual Research Report
Rationality problem of algebraic varieties and related topics
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18K03216
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
岡田 拓三 佐賀大学, 理工学部, 教授 (20547012)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ファノ多様体 / del Pezzo曲面束 / 双有理剛性 / K安定性 / 有理性問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では、3次元のファノ多様体やdel Pezzo曲面束の双有理幾何に関する研究を行なった。主にそれらの双有理剛性・有理性やK安定性に関する研究を行なった。双有理剛性はファノ多様体やdel Pezzo曲面束といった森ファイバー空間に対して定義される概念であり、非有理性を導くものである。
3次元非特異del Pezzo曲面束の双有理剛性に関しては、PukhlikovやGrinenkoによる満足の行く先行研究がある。一方で端末特異点を持つ場合の研究は行われていなかった。そのような状況の中で、1/2(1,1,1)型商特異点を許容した射影直線上の次数1のdel Pezzo曲面束が双有理剛的であるための非自明な必要条件を与えることに成功した。また、いくつかの3次元の余次元4の主ファノ多様体の双有理超剛性の証明を与えることができた。
KimとWonとともに、さまざまな3次元ファノ多様体のK安定性に関する共同研究を行なった。まずは、双有理剛的でないいくつかの3次元余次元2ファノ重み付き完全交叉のアルファ不変量が1以上であることを示し、これによってそれらのK安定性及びケーラー・アインシュタイン計量の存在を示した。また、「（ピカール数1の）ファノ多様体が双有理超剛的であればK安定的であろう」という予想を3次元ファノ重み付き超曲面の場合に肯定的に解決した。
3次元以上の任意次元において、非特異ファノ重み付き超曲面や、線形部分空間を含むファノ指数1のファノ超曲面の安定有理性に関する研究を行った。それらの対象が非安定有理的である（つまり、いかなる次元の射影空間と直積をとっても有理的にならない）ための具体的な条件を与えた。
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