2018 Fiscal Year Research-status Report
Research on analytic functions of several complex variables appearing in number theory
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18K03218
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
津村 博文 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (20310419)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 整数論 / ゼータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、連携研究者の松本耕二教授（名古屋大学）および小森靖教授（立教大学）との共同研究において、ポアンカレ多項式を利用した、多変数のWittenゼータ関数（ルート系のゼータ関数）についての新しい関数関係式を証明した。この変数に正の整数値を代入することで、これまで知られていなかったWitten型ゼータ関数の特殊値を、明示的に記述することに成功した。この結果は、論文としてまとめ Tohoku Mathematical Journal に投稿し、既にacceptされ、掲載が決定している。さらにその関連結果を含めたルート系のゼータ関数に関するサーヴェイ論文を執筆した。この論文も、Advanced Studies in Pure Mathematics のシリーズとして公刊される1冊（書名は未定）に掲載が決定している。
本研究テーマの一つである多変数の多重ゼータ関数の一つである多重ポリログのレベル２版と見られる関数に関して、金子昌信教授（九州大学）との共同研究が進んでいる。とくに金子氏自身によって定義された、Arakawa-Kaneko型ゼータ関数について、そのレベル2版としてのゼータ関数を構成し、その性質について調べた結果を論文としてまとめた。この論文も上述のAdvanced Studies in Pure Mathematics のシリーズの1冊に掲載が決定している。この結果については、2018年10月に開かれたRIMS研究集会「解析的整数論とその周辺」で講演した。
これらの結果は、当初の研究目的に十分に適う結果と考えられ、研究が順調に進んでいると考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように、研究目的として計画していたもののうち、ポアンカレ多項式を利用して、多変数のWittenゼータ関数（ルート系のゼータ関数）の関数関係式を示すことは予定通りの結果が得られたと思われる。関連して、奇数indexでの特殊値の表示も、望ましいものが得られたように感じられる。
またArakawa-Kaneko型ゼータ関数の研究も、研究目的としていた重要なテーマであったが、金子氏との協力により、興味深い結果が得られたと思われる。派生的に出てきたレベル２の次元予想など、こちらの想定を超えたものにたどり着けたことは、非常に喜ばしいことと考えている。ただ予想の明示的な定式化を含め、これから取り組むべき課題は少なくないと考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の進捗状況で述べた通り、多変数のWittenゼータ関数（ルート系のゼータ関数）の研究は当初の計画を達成できたと考えられるが、いくつかまだやり残している課題があるため、今後も松本氏、小森氏とは共同研究を継続していく。
金子氏とのArakawa-Kaneko型ゼータ関数の研究は、関連するレベル２の多重ゼータ値やポリベルヌーイ数の研究など、非常に多くの興味深い問題を生み出している。関連する分野の研究者も含めて、今後もかなり深い研究が必要となる。現在、既に掲載が決定した論文の続編にあたるものを金子氏とともに執筆中であり、さらにはその関連結果に関する論文を他の研究者とともに執筆する予定である。これらは、本研究課題の残りの2年間の重要なテーマとなる。
他の研究テーマである、小森氏とともに続けている一般線形群に付随するArakawa-Kaneko型ゼータ関数のについても、研究を継続していく。現在、研究結果のもとになる成果は出つつあるため、それらをどのように定式化していくかについて、共同で研究していく予定である。
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| Causes of Carryover |
30年度(3月)にアメリカで開催された研究集会に参加の予定であったが、校務のためやむなく不参加となり、執行残額が発生した。これは次年度に予定されている海外での研究出張旅費に繰り越すことを予定している。
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