2019 Fiscal Year Research-status Report
Research on analytic functions of several complex variables appearing in number theory
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18K03218
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
津村 博文 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (20310419)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ゼータ関数 / 整数論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
18年度からの継続として、Arakawa-Kaneko型多重ゼータ関数というものについて、とくにそのレベル２版にあたるものを、九州大学の金子昌信教授との共同研究で定義し、その性質およびその数論的応用について調べた。これにより、多重ゼータ値のレベル２版とみられる多重T値に関する研究が進展した。その内容の一部が間もなく、論文（題目：Zeta functions connecting multiple zeta values and poly-Bernoulli numbers）が Adv. Stud. Pure Math. のシリーズに掲載予定である。またその進展にあたる、多重T値の満たす和公式や、多重ゼータ値で成り立っているParity resultの関係式にあたる部分を新しい論文としてまとめ、現在投稿中である。また多重T値の張る線形空間に関して、金子氏によって精密な数値計算がなされて、その空間の次元予想に関しては知見が深まった。ただ、いわゆるフィボナッチ数のような漸化的な関係式や母関数は得られておらず、具体的な数値計算に頼っているのが現状である。
またルート系の多重ゼータ関数の研究も、連携研究者の名古屋大学の松本耕二教授、立教大学の小森教授と継続的に行った。とくにポアンカレ多項式を利用した特殊値の研究に関しては、別記の論文が出版された。また、ワイル群の性質をうまく利用することで、これまで知られていなかった特殊値を計算する方法が発見された。これは今後、一般化できる可能性があり、一層の進展が期待される。また、これまでの研究成果の overview に関する3人の共著論文（An overview and supplements to the theory of functional relations for zeta-functions of root systems）がAdv. Stud. Pure Math. のシリーズに掲載予定である。現在もその研究の進展について成果をまとめている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように、Arakawa-Kaneko型ゼータ関数の研究は、本研究目的としていた重要なテーマであったが、今年度も金子氏との協力により、興味深い結果が得られたと思われる。その意味では研究は順調に進んでいると考えられる。ただし、まだ多重T値の張る空間の次元予想の明示的な定式化にはたどり着いておらず、これから取り組むべき課題は少なくないと考えられる。
研究目的として計画していたもののうちの、ポアンカレ多項式を利用して、多変数のWittenゼータ関数（ルート系のゼータ関数）の関数関係式を示すことは、その後も順調な研究成果が得られていると考えられる。これに対して、通常の多重ゼータ値などが満たす Parity result については、まだ一般的な取り組みには至っておらず、今後の重要な研究テーマとしてとらえている。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの進捗状況でも書いた通り、レベル２の多重ゼータ値にあたる多重T値の研究は次年度も継続して行いたい。とくに、対応するArakawa-Kaneko型多重ゼータ関数の非正の整数点での値にあらわれる、いわゆるPolycosecant数については、既に興味深い性質が見つかっており、今後の重要な研究対象となる。実際、半双対関係式が連続的に補間できるかなどは、既にその具体的な事例も見えてきており、より一般的に考える必要を感じている。
またルート系のゼータ関数に関しても、松本氏、小森氏と協力して、さらなる研究を進めていきたい。最近の重要な研究として、松本氏と上智大学の中筋准教授によって、Schur 多重ゼータ関数とルート系のゼータ関数との関係が発見されており、今後に向けてそれぞれの立場からの考察を、研究の応用に結び付けることが大事であると考えられる。とくにともにワイル群の作用が重要となるため、新たな知見が得られることを期待している。
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| Causes of Carryover |
本年度は2月、3月に予定していたいくつかの研究出張が、新型コロナウィルスの影響でキャンセルとなってしまい、本来使用すべき旅費が使用できなくなった。2020年4月以降も当面は研究出張の予定が立たないが、状況が好転したら、今年度できなかった形での研究出張費として旅費を使用したい。別記した通り、名古屋大学の松本耕二教授や九州大学の金子昌信教授とは共同研究に関する研究打合せを実施することが必須なため、そのような機会を増やしていきたい。
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