2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03219
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
黒田 茂 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (70453032)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 多項式環 / 自己同型写像 / 永田型自己同型 / 加法群作用 / 余順自己同型 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多項式環の自己同型に関する理論の中で，Shestakov-Umirbaevr理論やその一般化は，本質的に2次元に帰着できない3次元の現象を扱えるという点で稀有な存在である．そのため，3次元以上の領域を開拓するうえで，この理論は大変参考になる．このことを念頭に，「一般化されたShestakov-Umirbaev理論」の整理・再編を行った．この成果は，van den Essen, Crachiolaとの共著書の第1章（約40ページ）として出版予定である．
多項式環の自己同型の研究は，アフィン空間への加法群作用の研究と密接に関係している．加法群作用の代数的構造についての理解を深めるために，黒田基紀と共同で，被約でない可換環上のアフィン直線への加法群作用の分類に取り組んだ．作用の「持ち上げ」の技法等を開発することで，一定の条件の下での分類に成功した．
基礎体が正標数の多項式環の場合，様々な重要なクラスの自己同型が標数と同じ位数を持つ．それらを解析する上で，不変式環の構造が有益な情報を有すると考えている．今回，「デデキントのコンダクター定理」の類似を証明することで，重要なクラスである「永田型自己同型」の不変式環の記述に成功した．
3変数以上の多項式環の自己同型群の研究では，部分群の効果的な解析が鍵を握る．今回，変数の個数が平方数である多項式環において，変数を正方行列の成分と見なし，その行列式を固定する自己同型たちのなす部分群を調べた．佐藤達輝の4変数の場合の結果を一般化し，9変数以上の場合でも「余順自己同型」が存在することを証明した．今後，この方面の研究で更なる発展が期待できる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
被約でない可換環上のアフィン直線への加法群作用の分類や，行列式固定自己同型の研究など，新たな方向性の研究で成果が得られているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，国内外の関連分野の研究者たちと情報交換や議論を行いながら研究を進める．前年度の研究を深化させるとともに，新たな方向性も模索する．
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| Causes of Carryover |
研究の展開の方向性等を考慮し，海外渡航や海外からの研究者の招聘，成果発表等を一部見送ったため残額が生じた．
これらは，次年度に学会等に参加して成果の公表を行ったり，国内外の関連分野の研究者たちと議論を行ったりするために使用する．
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Research Products
(7 results)
