2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K03219
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
黒田 茂 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (70453032)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 多項式環 / イニシャル代数 / SAGBI基底 / 指数自己同型 / 加法群作用 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多項式環の部分代数の「イニシャル代数」は，多項式環の深い性質を調べるうえで重要な対象であり，多項式環の自己同型の研究とも密接な関係がある．しかし，その詳細な構造を調べるのは困難な場合が多い．有限生成な部分代数のイニシャル代数も一般に有限生成とは限らず，有限生成となるための有効な判定法も知られていない．前年度，有限生成でないイニシャル代数を持つ有限生成部分代数を構成するための新しい方法を開発した．本年度は，この構成法で得られる部分代数のクラスについて詳細な研究を行った．イニシャル代数は，単項式順序を決めるごとに定まり，それらの総数は有限個の場合もあれば，連続濃度となる場合もある．今回，新たに証明したいくつかの基本定理をもとに，イニシャル代数の総数が連続濃度となるための条件を与えた．イニシャル代数の総数が連続濃度となる例は，ある種の不変式環の場合しか知られていなかったが，我々の結果により，そのような例が非常に多く存在することが判明した．
上記以外に，以下の研究成果を得た：
正標数の体上の3変数充溢階数指数自己同型の不変式環の研究を行い，多項式環と同型になるための条件等を調べた．よく知られたフロイデンバーグの例を一般化し，それらの不変式環がある条件下で多項式環と同型であることを証明した．
また，被約でない可換環上のアフィン直線への加法群作用による不変式環の有限生成性の研究を行い，一般的に非有限生成であることを見出した（黒田基紀との共同研究）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
イニシャル代数の総数に関する研究や，指数自己同型の不変式環の研究で，いくつかの有意義な研究成果を上げているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究成果の改良を図るとともに，研究全体を総括する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で研究活動に制限があったため残額が生じた．
次年度は，後期にサバティカルを取得するので，方法を模索しながら予定していた研究活動を推進する．
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