2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K03219
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
黒田 茂 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (70453032)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 多項式環 / 自己同型群 / 正標数 / 群作用 / 不変式環 / 永田型自己同型 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多項式環の自己同型を解析する上で，不変式環の持つ情報を調べることは非常に有益である．また，標数p>0の体上の多項式環の自己同型群やその部分群の研究では，位数がpの自己同型が様々な観点から重要な役割を果たす．例えば，種々の興味深い自己同型が加法群作用から誘導されるが，それらの位数は必然的に基礎体の標数と同じpになる．本年度，位数pの自己同型の不変式環の研究に取り組み，以下のような成果を得た．なお，位数pの自己同型の不変式環を調べることと，Z/pZ作用による不変式環を調べることは同じである．
「永田型自己同型」と呼ばれる有名な自己同型のクラスがある．これらの自己同型は加法群作用から誘導されるため，基礎体の標数がpならば位数はpである．今回，ある種のコンダクター公式を用い，永田型自己同型の不変式環の生成系を決定した．また，それを基に，永田型自己同型の不変式環の構造を調べ，不変式環が多項式環と同型になるための簡明な必要十分条件を与えた．さらに，この条件が，「台座イデアル」が単項イデアルであるための必要十分条件と同値であることを証明した．
また，一般的な枠組みにおいて，位数がpの自己同型の不変式環を記述するための新たな方法を得た．それを活用することで，充溢階数の加法群作用のある族から誘導される非常に複雑な自己同型たちの不変式環の構造を決定することに成功した．その結果，永田型の自己同型の場合と同様に，不変式環が多項式環と同型であるための必要十分条件と，台座イデアルが単項イデアルであるための必要十分条件が一致することが判明した．
これらの成果の一部は多項式環論セミナーで報告し，プレプリントをarXivで公表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多項式環の自己同型の不変式環等の研究で，いくつかの進展が得られているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究成果の改良を図るとともに，研究全体を総括する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で研究活動に制限があったため残額が生じた．
次年度は方法を模索しながら研究活動を推進する．
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Research Products
(8 results)
