2018 Fiscal Year Research-status Report
tame非可換射影多様体の幾何学とそれに付随する表現論の研究
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18K03220
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
源 泰幸 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (50527885)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 非可換代数幾何学 / Calabi-Yau代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
M. Herschend氏との共同研究において前射影的代数を一般化した代数の研究を進めた。この代数の特別な場合はEtingof-RainsによりクイバーがDynkin型の場合に研究され、また、一般の場合はN=1クイバーゲージ理論において研究されていたものである。主要な成果は当該代数のCalabi-Yau(CY)性であり、2通りの証明を与えた。
一つ目はクイバーの表現論、特にAuslander-Reiten理論を活用するものである。鍵となるのは普遍AR三角と呼びうる両側加群の完全三角である。これは既約加群をテンソルするとAR三角が得られる両側加群の完全列である。クイバー表現の圏は網目関係式と呼ばれる２次の関係式を持つことは基礎的な事実であるが、今回の研究でクイバー表現の圏には３次の関係式が隠れていることが判明した。この手法により当該代数とクイバー表現の圏との密接な関係が明らかになり、Etingof-RainsによるDynkin型の場合の次元公式を系としてもつ加群の同型を得た。
CY性の二つ目の証明はCrawley-Boeveyによる変形前射影的代数を活用するものである。以下に述べる一般的な二つの命題を用いることで変形前射影的代数のCY性から当該代数のそれが従う。可換環の拡大S/Rと（可換とは限らない）S代数Aを考え、A/Sがn-Calabi-Yau(CY), S/Rがm-CYの時、A/Rが(n+m)-CYになることを示した。また、CY性が基礎の可換環の拡大で保たれることを示した。
また、クイバーが拡大Dynkin型の場合には特異導来圏の記述を得た。Amiot-Iyama-Reitenによる一般論（を少し拡張したもの）を用いて2道代数（というべきもの）の導来圏との同値性を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
前射影的代数はクイバーの表現論にかかわる数学にあらわれ数多くの重要な応用を持っている。今年度研究した代数は前射影的代数の拡張として同様に重要な研究対象となるであろうことが期待できる。【研究実績の概要】の項目で述べた証明方法の一つ目で述べた普遍AR三角はクイバー表現の圏以外でも成り立つものであり、多くの応用が期待できる。また、証明方法の二つ目で述べたCY性に関する結果も同じく広範な応用が期待できる。その他、今年度得た成果は具体的な対象の基本的な性質を明らかにしたものと、基礎的な一般論の整備であり、どちらも今後の発展が期待できる。よって、当初の研究計画とは異なるが、しかし、今年度得た成果には研究に大きな進展があったといってよいであろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
非可換幾何学的には前射影的代数は標準束とみなせるが当該代数は１次ジェット束の類似とみなせる。ただし、これは道代数にのみ通用する類似であるようなので、一般の(DG)代数に対して１次ジェット束の非可換類似が存在するのかを検証したい。普遍AR三角はAtiyah列の非可換類似であるので、高次AR理論における類似、普遍AR n角の幾何学的意味も考察したい。
環の拡大によるCY性の遺伝の問題をexact CY性に対して考察する。
クイバーが拡大Dynkinの場合に当該代数の変異とcDV特異点の特異点解消の導来圏同値の関係について考察する。
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| Causes of Carryover |
購入を予定していたパソコンが安くなっていたため。
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Research Products
(5 results)
