2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03221
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
山本 修司 慶應義塾大学, 理工学研究科(矢上), 准教授 (20635370)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 多重ゼータ値 / 多重ゼータ関数 / 川島関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ダイガンマ関数とは，ガンマ関数の対数微分として定義される，古典的な特殊関数の一つである．ダイガンマ関数において，変数を∞に近づけたときの漸近展開公式の係数には，リーマンゼータ関数の非正整数における値が現れることが知られている．そこで，川島関数（＝ダイガンマ関数の「多重版」）の漸近展開公式を計算すると，その係数に多重ゼータ関数（＝リーマンゼータ関数の「多重版」）の非正整数における値が現れるのではないか，との期待が生じる．ただし多重ゼータ関数は非正整数において特異性を持っているため，その「値」をナイーヴに定義することはできず，しかるべき定義を与えるために種々の方向からの極限やdesingularization，renormalizationといったアイディアが提出されているところである．
このような状況のもとで，本研究の主題の一つは，川島関数の漸近展開公式を具体的に計算し，その係数に対して多重ゼータ関数の非正整数における「値」としての意味付けを考察することである．
本年度は川島関数の解析的性質を研究し，(1) 高次元立方体上の積分表示とそれに基づく調和関係式の新証明，(2) 川島関数の高階導関数を川島関数と多重ゼータ値を用いて表す公式，(3) インデックスがすべて2以上である場合に，川島関数の漸近展開の係数をベルヌーイ数の積の和で表示する公式，といった成果を得た．特に(3)は，条件付きではあるものの，上記の主題に向けた直接的な前進と言える．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は川島関数の理論を非正整数における多重ゼータ値の研究に応用することである．その基本方針は，川島関数の漸近展開公式を通じて非正整数における多重ゼータ値を考察することと，川島関数自身のインデックスを非正整数に拡張して，多重ゼータ値との関係を含めた諸性質を探求すること，の二つである．当初は後者の研究を先に進めるつもりであったが，非正指数の川島関数は一応定義できるものの，その性質として期待すべきことを見通すのが難しく，まだあまり進展していない．一方，前者については，すべてのインデックスが2以上という条件付きではあるが，ベルヌーイ数を用いた漸近展開の明示公式を示すことができた．このように当初の予定とは順序が入れ替わったものの，全体としてはおおむね順調な進捗状況であると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
漸近展開公式の係数について，ベルヌーイ数による具体的な表示が得られたので，これを非正インデックスの多重ゼータ値に関する先行研究と比較し，関係や類似を観察する．また，インデックスがすべて2以上という条件を外すための考察を進める．その際，インデックスが1を一つだけ含む場合や，逆にすべて1である場合など，特別な場合を詳しく計算しながら一般の場合への手がかりを探す．また，もう一つの主題である非正指数の川島関数についても，具体的な場合の計算例を積み重ねて一般法則を探る．
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| Causes of Carryover |
まず地震や台風などの自然災害が原因で出張予定だったセミナー等が中止になったことがあった．また本年度の研究で得た結果はまだ条件付きであり，途中経過としては順調であるものの，研究集会等で成果発表するには時期尚早と判断し，そのための出張を控えたこともあり，旅費の支出が想定よりも抑えられたことが主な理由である．次年度は情報収集・研究打ち合わせなどのほか，新しい研究成果の発表も含めて，出張の機会を積極的にとらえることで，より効果的に助成金を使用していく．
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