2018 Fiscal Year Research-status Report

Simply Connected Distance-Regular Graphs

Research Project

Project/Area Number	18K03222
Research Institution	International Christian University
Principal Investigator	鈴木寛国際基督教大学, 教養学部, 教授 (10135767)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	距離正則グラフ / グラフの基本群 / グラフの普遍被覆 / 代数的組合せ論 / 代数的グラフ理論
Outline of Annual Research Achievements	本研究の最終的な目標は以下の二つである。Γ を距離正則グラフ（DRG）とする。 A. π(Γ, x, 6) = π(Γ, x) である直径の大きな DRG で、任意の距離 3 の二点 x, y について、直径が 3 の、Classical DRG で、これらを含み、geodetically closed であるものが存在すれば、Γ は、Classical DRG である。 B. Geometric Girth が 7 以上で、直径の大きな DRG は存在しない。 A に関し、Classical DRG は、π(Γ, x, 6) = π(Γ, x) を満たすことは、Q多項式型としての性質を用いて、代数的な方法で示されているが（未発表）幾何的またはグラフ理論的手法でも、証明を試み、いくつかの場合には、成功した。（未発表）一般的に、証明可能かは、まだ不明である。B に関しては、まだ手がかりが得られていない。本研究計画の土台をなしている、二件の論文のうち、オンラインではすでに、公開されていた、論文一件 "Distance-regular graphs of large diameter that are completely regular clique graphs" が印刷体の査読付き国際専門誌に掲載され、また、もう一件の論文 ”Coverings and homotopy of a graph” も、オンラインとともに、印刷体の査読付き国際専門誌に掲載された。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 雑誌に掲載された論文からの情報収集、隣接分野の専門書から学ぶこと、査読などを通して、最新の結果を深く理解すること、構想を整理すること、研究者との電子メールや、論文の交換などを通して、情報交換することは、予定通り行った。また、静岡大学情報学部を訪問し、基本群を求めるプログラムの活用などについては、意見を交換することができた。しかし、近隣の分野の基本的な情報を収集し、研究計画を具体化する予定であったが、石川工業高等専門学校、および、愛知教育大学の研究者とは、予定をあわせることができず、訪問できなかった。また、広島工業大学で開かれた研究集会にも、本務校の業務の関係で、出席できなかった。
Strategy for Future Research Activity	1. Classical DRG が単連結であることを、構造論から示す。一般的に証明することができればよいが、知られている Classical DRG については、具体的に示すことを検討する。 2. 問題 A の解決に挑む。特に、ベルギーの研究者が、構造論だけから、Regular Near Polygon で thick line かつ c3>2 の分類を最近証明しており、Regular Near Polygon の場合を完成させることが、最初のステップだと思われる。2019年度は、British Combinatorial Conference に出席するなどして、ベルギーの研究者との交流をはかり、議論を進めたい。英国だけでなく、ベルギーや、オーストラリア訪問も検討する。 3. Completely Regular Code となる、Geodetically Closed Subgraph で直径が３までのものの存在を改定して、普遍被覆を構成することを検討し、いくつかの場合には、解決する。 4. 基本群の性質などを、調べることで、問題 B の解決の糸口を掴む。 5. 近隣分野の研究集会に参加して、研究の方向性についても、意見を得ながら全体の研究計画を具体化する。