log crystalline cohomologies of semistable varieties and deformation theory of log varieties in positive characteristic

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03224
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: 中島 幸喜 東京電機大学, 工学部, 教授 (80287440)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: Hirsch拡大 / 重みフィルトレーション / 正規交差対数多様体 / 重みフィルトレーション付き複体の積構造 / p進Steenbrink複体 / 対数Calabi-Yau多様体 / Artin-Mazur高さ / W_2への持ち上がげ

Outline of Annual Research Achievements

正標数の固有正規交差対数多様体に対し、重みフィルトレーション付きp進Steenbrink複体とは違った重みフィルトレーション付きp進複体をHirsch拡大という概念を用いて、構成し、その重みフィルトレーション付きp進複体には自然な積構造があることを示し、かつ、この積構造と重みフィルトレーションとの両立性を重みフィルトレーション付き複体のレベルで示し、その応用を展開した。さらに、新しい重みフィルトレーション付き複体と重みフィルトレーション付きp進Steenbrink複体から、対数クリスタルコホモロジーに誘導される二つのフィルトレーションは捩れの部分を除けば、一致することも示した。この結果の系として、重みフィルトレーション付きp進Steenbrink複体から誘導される対数クリスタルコホモロジーに誘導されるフィルトレーションは捻れを消した対数クリスタルコホモロジーのカップ積と両立することがを示すことができた。また、重みフィルトレーション付きp進Steenbrink複体の反変関手も以前よりは扱いやすい射に関し、示すことができた。この研究は、長大な論文(160ページ)「Hirsch weight-filtered log crystalline complex and Hirsch weight-filtered log crystalline dga of a proper SNCL scheme in characteristic p>0」として纏め、雑誌に本として投稿し、現在、審査中である。
呼子笛太郎は、正標数の完全体上のCalabi-Yau多様体に対し、Artin-Mazur高さが有限の場合は、W_2まで持ち上がることを示したが、本研究では対数Calabi-Yau多様体を定義し、それがW_2まで持ち上がることを示した。この研究結果を纏めた論文は既に出版されている。