2022 Fiscal Year Research-status Report

On finite generation of symbolic Rees rings of defining ideals of space monomial curves

Research Project

Project/Area Number	18K03226
Research Institution	Meiji University
Principal Investigator	蔵野和彦明治大学, 理工学部, 専任教授 (90205188)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2024-03-31
Keywords	シンボリックリース環 / Cox 環 / 有限生成性 / モノミアル曲線
Outline of Annual Research Achievements	射影トーリック曲面を一点ブローアップしたときの、その proper transform の自己交点数が負になる射影トーリック曲面内の曲線の方程式を決定し、その性質を調べることが目的の一つであった。射影トーリック曲面内での自己交点数 r を決めたとき、このような曲線は同型を除いて有限個であることがわかった。r が小さい時に、そのような曲線の分類を行った。そのような曲線は標数に依ることもわかった。そのような曲線がいつ有理曲線になるかを調べた。多くの場合、そのような曲線の Newton polygon の格子点の個数は r(r+1)/2+1 以下になるのだが、非常に多くの場合 r(r+1)/2+1 に一致する。それが一致しない例を見つけたが、そのような曲線は海外の研究者らによって extreamal curve と呼ばれている。それらを論文としてまとめ、その論文は2022年度に Journal of Algebra から出版された。そのような曲線の Newton polygon は非常に重要である。この Newton polygon の内点の格子点数に関して興味深い結果を得ることができた。この結果は、明治大学のポスドクであった稲川太郎氏(2023年の3月に退職)との共同研究において、有効に使われた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason コロナ禍により必要な海外研究者との交流ができなかった。また、家庭の事情により、あまり家を空けることができなくなった。以上の理由で自宅での研究が中心となっている。海外の研究者の意見を聞くなどができないことが、研究の遅れの原因になっている。
Strategy for Future Research Activity	昨年度末にベトナムでの研究集会に関係する研究者を派遣することができたことにより、研究課題の遂行に大きく前進した。あと、一件の国内出張を行って研究発表できれば、本研究課題はほぼ完成したと言える。
Causes of Carryover	昨年度末のベトナムでの研究集会に関係する研究者を派遣することができた。あと、一件の国内出張をこの研究費で行いたい。