2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03227
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
松岡 直之 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (80440155)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 四郎 明治大学, 研究・知財戦略機構, 研究推進員 (50060091)
チャン ティフン 明治大学, 研究・知財戦略機構, 研究推進員(客員研究員) (00649824)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 可換環論 / 数値半群環 / almost Gorenstein環 / 極小自由分解 / Cohen-Macaulay環 / Gorenstein環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、Gorenstein性と非Gorenstien性の間に横たわる溝を埋めるような局所環のクラスを探究することで非Gorenstein環の階層化を実現せしめ、非Gorenstein環解析に新たな展開をもたらすことにある。
本年度までに実施した研究課題は大きく分けて(1) Rees代数のalmost Gorenstein性解析、(2) 2-almost Gorenstein環の定義と基礎理論構築、(3) 数値半群環の極小自由分解の構造解析の3種類である。
(1)では、研究分担者である後藤四郎氏と、協力者である谷口直樹氏・吉田健一氏との間で継続して行ってきた共同研究を発展させ、いかなるイデアルのRees代数がalmost Gorensteinとなり得るかを追求した。その過程において、almost Gorenstein環はGorenstein環と比べ枠組みを広げることには成功しているものの、未だに希少であると判明した。これが (2)の研究動機であり、2-almost Gorenstein環の定義に至った。与えられた次数環の情報の多くは、その極小自由分解が含んでいると考えられる。ベッチ数など、極小自由分解に付随する不変量の解析は盛んに行われているが、その構造を写像の形まで含めて確定させる研究は多くなく、数値半群環に関しても知られていることは少ない。研究(3)は、数値半群の擬フロベニウス数と半群環の定義イデアルとの関係性に着目し、ある種の数値半群環の極小自由分解の構造を完全に特定したものである。
本研究内容は論文にまとめ国際的な数学専門誌へ投稿している。また、国際研究集会においても講演した。
第40回可換環論シンポジウムを、本研究経費でその開催経費の一部を負担して開催した（下元数馬氏、吉田健一氏（共に日本大学）と共同開催）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
申請時点で平成30年度に実施を予定していたRees代数のalmost Gorensetin性解析は、本研究開始を前にして満足のいく成果が得られた。その成果はすでにMichgan Math. Journal から出版されている。almost Gorenstein環の一般化概念である2-almost Gorenstein環の定義も行い、これに沿った各種局所環の2-almost Gorenstein性解析も開始されている状況である。このことから鑑み、現在は「当初の計画以上に進呈している。」と判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度は、数値半群環をモデルとした具体例解析を通して、2-almost Gorenstein環やgeneralized Gorenstein環の基礎理論構築を目指す。この際、1次元の枠組みに留まらず、常に高次元への理論展開を意識する。2-almost Gorenstein環は1次元の環に対する定義に留まっており、その高次元化は必須の課題として急務と判断される。また、次数環に対するgeneralized Gorenstein環を定めることで、Rees代数のgeneralized Gorenstein性解析など研究の枠組みを広げることができる。その一方で、具体例解析を行うためにも数値半群環をさらに深く探究し、ひとつの情報も逃さずに抜き出す知識と技術の修得にも努める。
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| Causes of Carryover |
校務等により、研究集会への参加回数が予定を下回ったことが大きい。また、本研究に関わる図書を十分に選定できなかったため、図書の購入を行わなかった。
本年度は、研究の遂行に必要となる知識を得るため図書を積極的に購入する他、国内外への研究出張のみでなく、研究者の招聘を行い、専門知識の供与を受けることも検討している。
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