2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K03227
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
松岡 直之 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (80440155)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 四郎 明治大学, 研究・知財戦略機構(生田), 研究推進員 (50060091)
チャン ティフン 明治大学, 研究・知財戦略機構(生田), 研究推進員(客員研究員) (00649824)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 概ゴレンシュタイン環 / 数値半群環 / Rees代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，多様かつ豊富に存在するCohen-Macaulay環をGorenstein性との相違を指標に階層化することである。この目的に沿う重要な概念として，研究代表者は研究分担者後藤四郎とTran Thi Phuongとともに1次元の環に対してalmost Gorenstein性を定めた。その後，後藤四郎は高橋亮，谷口直樹との共同研究でalmost Gorenstein性を高次元の環に対して定め，本研究課題の出発点を提示している。平成30年度に実施したイデアルのRees代数のalmost Gorenstein性解析において，研究代表者と後藤四郎は，谷口直樹，吉田健一との共同研究によって，2次元正則局所環内の整閉イデアルのRees代数はalmost Gorenstein環であることを明らかにした。Rees代数のalmost Gorenstein性に関する境目がいかなるところにあるかを深く解析することを目指し，令和元年度には整閉イデアルの一般化であるcontracted idealのRees代数のalmost Gorenstein性解析を実施し，成果[]を得た。特に，contracted stable idealであってもそのRees代数がalmost Gorensteinとは限らないという結果は想定外のものであり，almost Gorenstein環の枠組みをさらに広げ，generalized Gorenstein環論を展開する必要性を感じた。後藤四郎は谷口直樹，Ela Celikbas，Olgure Celikbasらとの共同研究により，generalized Gorenstein環のArf性を解明している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
解明が急がれていたイデアルのRees代数のalmost Gorenstein性解析には一定の成果が得られており，この点で「おおむね順調に進展している」と判断する。その一方で，当該課題の研究を遂行する中で見出された新たな問いの究明も必要となっている。その影響もあり，次数付き環に対するgeneralized Gorenstein性の定義や，それに付随して almost Gorenstein性の定義の妥当性の精査など，取り組むべき課題が残されている状況でもある。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は以下の課題を主に扱う。
(1) 各種概ゴレンシュタイン性解析の基盤を主眼とした数値半群環のさらなる解析
(2) 次数付き環に対するalmost Gorenstein性の定義の妥当性の精査と，generalized Gorenstein性の定義の検討
(3) Arf性の一般化と，各種概ゴレンシュタイン性との関わりの究明
数値半群環はalmost Gorenstein環論の起点であり，これまでも特徴的な具体例を与えてきた。数値半群環の次数付きに限らない理論は可換環論の中でも盲点となっており，ほとんど知られていることがないように見受けられる。その中から概ゴレンシュタイン環論の発展の糸口が発見されることにも期待している。(2) は (1) で得られる知見も取り入れながら推進していく。次数付き環に対するalmost Gorenstein性は後藤-高橋-谷口直樹によって定義が与えられているが，研究を進めるにつれてその枠組みが若干窮屈に感じられる場面が散見されるようになった。この枠を広げた上でさらに魅力的な理論展開が可能な新たな定義を模索することが現在の最も大きな課題と判断されている。これに取り組む。Generalized Gorenstein環のArf性はCelikbas-Celikbas-後藤-谷口によって研究されており，想定以上の親和性をもっていると判断される。Arf性は1次元の半局所環に対して定められているものであるが，これをより広いクラスの環に対して定義する。そのうえで、各種概ゴレンシュタイン性との関わりを究明していくことも目指す。
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| Causes of Carryover |
学内業務などの兼ね合いや，訪問先の都合により，想定していた海外出張を実施できなかった。用途は
(1) 主催予定の研究集会に海外からの研究者を招聘し，専門知識の供与と研究打ち合わせの実施
(2) いくつかの海外研究集会への出席
を想定していたが，現在軒並み集会の中止が判断されている状況のため，オンラインでの研究活動に必要不可欠な機材の購入を中心に切り替えることを検討中である。
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