2018 Fiscal Year Research-status Report
The solution of Hurwitz's problem through Galois covers of algebraic curves and study on curves on K3 surfaces
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18K03228
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| Research Institution | Kanagawa Institute of Technology |
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Principal Investigator |
米田 二良 神奈川工科大学, 公私立大学の部局等, 教授 (90162065)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ワイエルシュトラス半群 / K３曲面 / 数値半群 / 二重被覆 / 平面代数曲線 / トーリック曲面 / ガロア被覆 / シグマ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
共同研究で、弱ガロア・ワイエルシュトラス点についてワイエルシュトラス半群が２元生成の場合に個数を決定した。その論文は現在、雑誌に投稿中であり、また、種数４の超楕円でない代数曲線の標準的埋め込みのガロア直線の本数について、次数が3,5の場合に結果を得た。
トーリック曲面上にある射影直線の素数次巡回被覆の総分岐点のワイエルシュトラス半群の特徴付けの共同研究者との共著の論文を投稿し、受理された。
重みが (1,1,4) である射影平面上の二重被覆であるK3曲面上のフェルマ型及び準フェルマ型の二重被覆である代数曲線のワイエルシュトラス半群の決定の共著の論文を投稿中である。
海外共同研究者と6次平面代数曲線上の二重被覆である代数曲線の分岐点のワイエルシュトラス半群を調べ、下の点が接線と5次で接しているときの論文を投稿し、受理された。
射影直線の３次巡回被覆である代数曲線のシグマ関数を構成し、その零点の位数の計算、ヤコビの逆問題の解答を与えた共同研究の論文が出版された。また、Weierstrass normal form で表された代数曲線のヤコビの逆問題についての共著の論文も投稿し、受理された。現在、射影直線の３次巡回被覆である代数曲線が退化したときのシグマ関数の様子を記述する共著の論文を執筆中である。
形式言語とオートマトン研究会では、通常点で分岐する２次被覆が超楕円曲線の2次被覆から得られる場合の特徴づけについて講演した。DLT's Satellite Workshop in Kyoto では、導手を固定したとき almost symmetric な数値半群の３次被覆を通しての無限列の構成、そして導手が偶数の場合にもっと一般の場合に２次被覆を通しての無限列の構成について講演した。RIMSの共同研究（公開型）では導手が奇数の場合のワイエルシュトラスでない数値半群の無限列について講演した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
代数曲線のガロア被覆の総分岐点のワイエルシュトラス半群については、トーリック曲面にのっていて射影直線の素数次巡回被覆の場合は、本質的な結果が得られた。d次平面代数曲線の二重被覆については、d が 6 の場合については重要な場合について結果が得られている。また、重み付き射影平面の二重被覆であるK３曲面上の代数曲線については、フェルマ型の被覆になっている場合、ワイエルシュトラス半群が計算できている。超楕円曲線の二重被覆の場合にも幾つかの結果が得られている。
導手が高い場合に、二重被覆ではフルビッツの問題が解決できないものについて、多くの場合、数値半群の関係式を使って解決できている。
重み付き射影平面の三重被覆であるK３曲面上の代数曲線についてもワイエルシュトラス半群の計算に取り組み始めている。射影直線でない代数曲線の３重被覆の総分岐点のワイエルシュトラス半群については、ガロア被覆でない場合にも研究が進んでいる。
導手を固定した場合のワイエルシュトラスでない数値半群の無限列の構成が、導手が奇数の場合に出来ている。また、導手が偶数の場合にも、奇数の場合とは異なる方法で構成出来ている。これはフルビッツの問題の解決のための数値的な必要十分条件を与えるヒントになると思われる。
数値半群が２元生成、３元生成の場合、ワイエルシュトラスである。４元生成の場合、対称的な場合、準対称的な場合もワイエルシュトラスであることを以前に示したが、ある対称性を持っている場合にも数値半群が二重被覆と関連がつく場合と数値半群としての関係式がわかる場合も示せた。それら以外の多くの場合にも証明できた。
射影直線の３次巡回被覆の場合のシグマ関数の構成がうまくできているが、これがフルビッツの問題の解決と関連づけることができるかを模索中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
共同研究で、トーリック曲面上にのっている代数曲線では得られないワイエルシュトラス半群の特徴づけをする。海外共同研究者とは、d次平面代数曲線の二重被覆で接線との接触度がdの点で分岐している分岐点のワイエルシュトラス半群をdが７以上の場合にも調べる。これら二つの研究によって、知られていないワイエルシュトラスでない数値半群が見つかる可能性がある。
2元または3元生成の数値半群はワイエルシュトラスであることが知られているが、4元生成の場合にも調べてみる。特にある対称性を持っている場合には、解決できそうで、解決すれば単著の論文としてまとめる。
ワイエルシュトラスでない数値半群の無限列を沢山作り、それを使ってワイエルシュトラスでない数値半群の十分条件をみつけていく。これはフルビッツの問題の本質的な解決につながると思われ、この観点から単著の論文としてまとめる。
三重被覆の分岐点のワイエルシュトラス半群を調べることは二重被覆ではわからない場合に有効で、二重被覆と同様な一般論を整備する。そして今までわかったことを共著の論文としてまとめる。また、重み付き射影平面の三重被覆であるK３曲面上の代数曲線について調べる。
種数４の代数曲線の標準的埋め込みのガロア直線について次数が４と６について本数を考える。これらを解決し、共著の論文としてまとめる。また、４次または５次巡回被覆のシグマ関数の構成が３次の場合の方法が使えないかを研究する。
射影平面の(2,3)曲線で分岐している二重被覆及び6次被覆について調べ、その上の代数曲線について考察する。また、楕円有理曲面の二重被覆であるK3曲面では、射影曲面の二重被覆であるK3曲面の上の代数曲線の類似が成り立ちそうで、このことを明らかにする。コンパクトリーマン面をジーゲル上半平面をフックス群で割った形で考え、その場合の自己同型の固定点のワイエルシュトラス半群を考察する。
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| Causes of Carryover |
共同研究者と打ち合わせの日程の都合がつかなかったため、予定していた研究打ち合わせの出張が２回中止になった。共同研究者の大学に行って、研究打ち合わせをする予定だったが、共同研究者が自分の科研費を使ってこちらの大学に出張したことが３回あった。海外出張の期間が、こちらの都合で短縮された。
雑誌の掲載料を予定していたが、出版が次年度にずれ込んだ。
共同研究者と主催した代数曲線論シンポジウムの費用について、他の研究者からの援助があった。
使用計画は、まず雑誌の掲載料として使用する。出張旅費が不足している共同研究者がいるので、こちらからその大学に出張するか、共同研究者をこちらの大学に来てもらうための旅費に充てる。この12月開催予定の代数曲線論シンポジウムの講演者として、科研費の研究課題に近い分野の人を４人ほど呼ぶ。そのための旅費に使う。昨年度、満足に共同研究できなかった研究者の大学を、研究打ち合わせのため、昨年度より多く出張し、問題解決にあたる。また、研究成果の発表のため、RIMS以外の研究集会でも発表し、そのための旅費に使う。
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