2020 Fiscal Year Research-status Report
The solution of Hurwitz's problem through Galois covers of algebraic curves and study on curves on K3 surfaces
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18K03228
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| Research Institution | Kanagawa Institute of Technology |
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Principal Investigator |
米田 二良 神奈川工科大学, 公私立大学の部局等, 教授 (90162065)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Weierstrass semigroups / Numerical semigroups / Non-singular curves / K3 surfaces / Toric surfaces / Cyclic covers of curves / Triple covers of curves / Galois varieties |
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| Outline of Annual Research Achievements |
新型コロナのために、対面での共同研究はできなかったが、メールを通じて、また、WebEx を使って共同研究を実施し、Toric surface 上の non-singular curve で射影直線の偶数次 cyclic coverになっているものの総分岐点の Weierstrass semigroup についての論文を共著で海外の雑誌に投稿して、受理され、オンラインで出版された。
また、non-singular curve からは得られない almost symmetric numerical semigroups の無限列の構成に関する論文を海外の雑誌に投稿し、査読者のコメントに従った改訂版を再提出している。
RIMS の研究集会では、pseudo-symmetric 数値半群について triple covers of curves の概念を使った特徴付けと分類に関する講演をした。
また、zoom を使って、共同研究を実施し、non-hyperelliptic curve の標準埋め込みに関する Galois variety に関して curve の種数が 4 の場合や、また、curve が３次または４次の射影直線の巡回被覆の場合に結果を得ていて、論文としてまとめる方向で進めている。さらに、zoom を使って、K3 surface 上 のnon-singular curve の Weierstrass semigroup の研究を実施し、特に K3 surface が、有理楕円曲面の二重被覆になっている場合に、このK３ surface に載っている種数 16 の代数曲線のWeierstrass semigroup の計算例が出来ている。
そして、射影直線上の3次巡回被覆が退化したときのシグマ関数についての共著の論文が、海外の雑誌で受理された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
代数曲線のガロア被覆の総分岐点のワイエルシュトラス半群を通してフルビッツの問題の解決に近づくのが一つの目標である。平面代数曲線の二重被覆について、接線が次数分の接触度を持つ点上で分岐している点のワイエルシュトラス半群については二重被覆の種数が十分大きい場合には、次数が６以下では、解決した。また、次数が７についても研究を続けていて条件付きで解決している。これらは全て共著の論文として出版されている。
重み付き射影平面の二重被覆がK３曲面になるある場合について、フェルマ型またはフェルマ型でない一つのタイプの代数曲線の二重被覆が、このタイプのK３曲面に載っていることを示し、この被覆のある分岐点のワイエルシュトラス半群について計算した。この共著の論文も出版されている。射影直線の素数次巡回被覆がトーリック曲面に載っている場合に、その分岐点のワイエルシュトラス半群について計算でき、共著の論文として出版された。また、10以下の偶数次の巡回被覆の場合にも解決でき、共著の論文として、オンラインで出版された。
与えられた２元生成の数値半群がガロア被覆の総分岐点のワイエルシュトラス半群になっている場合のその代数曲線上の点の個数についての共著の論文も出版されている。
ワイエルシュトラス半群として得られない数値半群を、二重被覆や三重被覆の考え方を使って無限個からなる列として構成した。これは、数値半群の導手を固定して得られている。この単著の論文については、投稿した雑誌から良い返事をもらっていて、現在、改訂版を提出中である。これはフルビッツの問題の解決に大きく貢献すると思われる。導手が種数の２倍引く１の場合の数値半群についての特徴付けが三重被覆の考え方を使って必要条件としてでき、また、それを使って多くのワイエルシュトラス半群でないこのタイプの数値半群が得られた。これはRIMSのZoomによる研究集会で発表した。
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| Strategy for Future Research Activity |
対称数値半群の特徴付けは二重被覆の考え方を使って、導手が種数の２倍引く１の場合の数値半群の特徴付けは、種数が３を法として１と合同でない場合について三重被覆の考え方を使ってできている。このことを使い、これらの数値半群の種数が大きい場合にフルビッツの問題が解決できればと思っている。また、導手が種数の２倍引く２の場合の特徴付けをし、代数曲線のワイエルシュトラス半群から得られない多くの例を作る。また、４元生成数値半群で導手が種数の２倍引く２の場合にフルビッツの問題を考察する。
平面代数曲線の二重被覆について、接線が次数分の接触度を持つ点上で分岐している点のワイエルシュトラス半群については二重被覆の種数が十分大きい場合には、次数が７の場合に解決したい。また、これと関連して、次数が８以上の場合に、このような方法で得られない数値半群を見つけたい。もし見つかれば、この数値半群は代数曲線からは得られない数値半群になる。これらの研究は海外共同研究者と メールやZoom 等を使って共同研究で結果を得たいと考えている。
トーリック曲面上に載っている射影直線の素数次でない巡回被覆の総分岐点のワイエルシュトラス半群の特徴付けをしたい。また、２次元アフィントーリック多様体から作られるワイエルシュトラス数値半群をワイエルシュトラス半群として持つ非特異代数曲線がトーリック曲面に載るかどうかを調べる。
有理楕円曲面の二重被覆になっているK３曲面に載っている非特異代数曲線でワイエルシュトラス半群が計算できる多くの例を作る。
種数gの超楕円でない代数曲線の標準的埋め込みとg-1次元射影空間から射影直線への射影の合成がガロア被覆になるときのその写像の決定とその写像の個数を調べる。特に、種数gが4の場合とそのガロア被覆になっている合成写像が３次、４次、5次の場合に解決する。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため、予定していた共同主催の代数曲線に関する研究集会が開催できなくて、これに伴う費用、例えばプロシーディングの出版費用、講演者の旅費等の使用を予定していたが、全く使わなかった。
また、共同研究のための海外出張も含めた5回以上の出張が一度もできなくて、予定していた費用を全く使わなかった。さらに国内での研究集会の発表は Zoom 会議になり、研究集会への出張旅費を使わなかった。また、海外での半群関係の国際シンポジウムに参加し、講演を予定していたが、その会議は中止になり、そのための海外出張の旅費も使わなかった。
今年度は主催する代数曲線論シンポジウムはオンラインで開催する予定で,そのために必要な経費(機材、ソフト等）を科研費を使用して購入する、また、今年度もコロナ禍の影響で、共同研究のための出張は難しそうで、オンラインで共同研究を進めるが、今年度後半には、コロナ禍が改善され、共同研究のための国内出張ができる可能性があるので、そのための幾らかの旅費を確保しておく。さらに、情報提供のための謝金も確保しておく、また、例年、RIMSでの半群関係の研究集会が2月の中旬に開催される。この頃にも出張できる可能性があるので、そのための旅費をとっておく。また、科研費の課題の研究のために必要な書籍の購入も考えている。
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Research Products
(3 results)
