2018 Fiscal Year Research-status Report
Development in geometric Galois theory and monodromy
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18K03230
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| Research Institution | Ube National College of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 敬 宇部工業高等専門学校, 一般科, 教授 (50353321)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | （準）ガロワ点 / 自己同型群 / 代数曲線 / 複素鏡映群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数関数体の内部構造を考察する手段として導入された「ガロワ点」，およびその進化形である「準ガロワ点」について多方面からの考察を行った．
１．準ガロワ点の群論バージョンとも考えられる「複素鏡映群」について，（準）ガロワ点との関係を詳細に考察した．具体的には，フェルマー曲線の自己同型群を生成する行列を調べ，それが既に得られている，ある複素鏡映群と同型になることを示した．この事実を用い，さらに，複素鏡映群の一般論を援用することで，フェルマー曲線の準ガロワ点の個数と位置を決定した．これは，すでにフェルマー曲線の幾何学的性質から導いた結果と一致する．すなわち，複素鏡映群の観点から別証明を与えたことになる．このことは，2018年12月に開催された「第16回代数曲線論シンポジウム」で発表した．
２．ガロワ点に付随する双有理変換について考察した．平面代数曲線が特異点を持つ場合，この双有理変換が何であるのか，今のところよく分かっていない．ある特殊なケースについて，それがクレモナ変換の制限で得られることを示した．これにより，3次巡回群をガロワ群に持つガロワ点について，付随する双有理変換は常にクレモナ変換の制限で得られることが示された．
３．本研究課題の補助により，2018年9月に「Workshop on Galois point and related topics」を開催し，ガロワ点研究について活発な議論が行われた．
４．本研究課題の補助により，2019年1月に「第6回代数幾何学研究集会－宇部－」を開催した．本研究課題の周辺にある最新の研究成果について議論を深めることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
複素鏡映群との関係は，ようやく見通しが立った状態であり，今後のさらなる研究が必要である．複素鏡映群の理論は，今までに多方面から考察がなされており，それらを広くかつ深くマスターするためにはより一層の努力が必要である．このことは，クレモナ群についても同様である．研究に費やせる時間の確保が簡単にはいかない状況の中で，いかに効率よく研究を進められるかを考えていきたい．
また，専門家との研究打ち合わせについても，効率よく実行していきたいと思う．打ち合わせをし，協働することで研究は着実に進展すると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
我々が既に得ている「ガロワ点」「準ガロワ点」についての結果を，複素鏡映群の理論から見直すことは大いに意味がある．この方面からの研究を強力に展開したい．そのためには，一つには，自己同型群のきめ細かな考察が必要である．これについては，連携研究者らと研究打ち合わせを重ねることで対応するつもりである．
また，幾何学的な性質についても精査する必要がある．とくに，古典的な結果として得られている幾何学的な現象を，我々の「ガロワ点」「準ガロワ点」の言葉を用いて記述することを目指していきたい．このためにも，連携研究者らと研究打ち合わせをする必要がある．打ち合わせを定期的に行い，協働することで確実に研究は進展すると考えている．
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| Causes of Carryover |
研究打ち合わせのための出張を数回予定していたが，校務上，あるいは個人的な理由で実行できないことが多くあった．これは大いに反省すべきことである．このため，旅費の支出が予定より大幅に少なかった．
今年度以降は，確実に研究打ち合わせができるようにスケジュールを工夫して組み立てていきたいと考えている．また，研究集会にも積極的に参加し，最新の研究成果をチェックしたり，関係する研究者らと相談をする予定である．
自分自身の出張のほか，研究打ち合わせのために連携研究者を招聘することも考えていきたい．
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