2019 Fiscal Year Research-status Report
Development in geometric Galois theory and monodromy
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18K03230
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| Research Institution | Ube National College of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 敬 宇部工業高等専門学校, 一般科, 教授 (50353321)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | （準）ガロワ点 / 自己同型群 / 代数曲線 / 複素鏡映群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数関数体の内部構造を考察する手段として導入された「ガロワ点」，およびその進化形であるである「準ガロワ点」について多方面から考察を行った．
１．ガロワ点を８個持つ非特異４次曲面（Schur's quartic）が持つ自己同型の行列と，ガロワ点の位置の考察を行った．同様なことをガロワ点を４個持つ非特異４次曲線についても行った．さらに，４個のガロワ点でのガロワ群の作用が引き起こす自己同型について複素鏡映群の立場から考察した．
２．種数３の代数曲線について，極大な自己同型群を持つ８種類の代数曲線についてガロワ点の個数の決定を試みた．
３．ガロワ点を持つ平面曲線は変曲点を多く持つことが一般的である．この事実に鑑み，徳島大学の白根竹人講師とともにガロワ点とザリスキ対の構成問題に着手した．手始めに，古くから知られているザリスキ対についての結果とガロワ点の結果を比較し，後述する山形大学でのワークショップで発表した．
４．東海大学の瀧真語准教授とともに，K3曲面の自己同型の観点からガロワ点の研究を開始した．
５．本研究課題の補助により，２０１９年９月に「Workshop on Galois point and related topics」を山形大学で開催し，ガロワ点研究について活発な議論を行った．さらに，２０２０年１月に「第７回代数幾何学研究集会ー宇部ー」を宇部工業高等専門学校で開催した．本研究課題の周辺にある最新の研究成果について議論を深めることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
ザリスキ対の研究，K3曲面の研究はトライアルを経てようやくスタートしている状態であり，今後のさらなる研究が必要である．どの研究についても，今までに多方面から考察がなされており，それらを広くかつ深くマスターするためにはより一層の努力が必要である．このことは，複素鏡映群，クレモナ群についても同様である．研究に費やせる時間の確保が簡単にはいかない状況の中で，いかに効率よく研究を進められるかを考えていきたい．
また，専門家との研究打ち合わせについても，効率よく実行していきたいと思う．研究打ち合わせをし，協働することで研究は着実に進展すると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
上述したように，ザリスキ対の専門家の白根講師，K3曲面の自己同型群の専門家の瀧准教授とともに研究を進めることは非常に強力であると思われる．我々が既に得ている「ガロワ点」「準ガロワ点」についての結果を，これらの理論から見直すことは大いに意味がある．この方面からの研究を強力に展開したい．そのためには，一つには，自己同型群のきめ細かな考察が必要である．これについては，連携研究者らと研究打ち合わせを重ねることで対応するつもりである．
また，幾何学的な性質についても精査する必要がある．とくに，古典的な結果として得られている幾何学的な現象を，我々の「ガロワ点」「準ガロワ点」の言葉を用いて記述することを目指していきたい．このためにも，連携研究者らと研究打ち合わせをする必要がある．打ち合わせを定期的に行い，協働することで確実に研究は進展すると考えている．
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| Causes of Carryover |
研究打ち合わせのための出張を数回予定していたが，校務上，あるいは個人的な事情により実行できないことが数多くあった．これは大いに反省すべきことである．このため，旅費の支出が予定より大幅に少なかった．
今年度以降は，確実に研究打ち合わせができるようにスケジュールを工夫して組み立てていきたい．また，研究集会にも積極的に参加し，最新の研究成果をチェックしたり，関係する研究者らと研究打ち合わせをする予定である．自分自身の出張のほかに，連携研究者および各分野の専門家を招聘したいと考えている．
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