2019 Fiscal Year Research-status Report
On Global Torelli type theorem of compact Kaehler manifolds with trivial first Chern class
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18K03231
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
松下 大介 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (90333591)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | シンプレクティック / ラグランジアン / 自己同型 / 周期点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
既約シンプレクティック多様体とは単連結なケーラー多様体で, 正則シンプレクティック形式を持ち, シンプレクティック形式を実質的に一つしか持たない, 標準因子が自明な多様体の構成要素の一つとみなせる重要な多様体である. このクラスの多様体に対して大域的トレリ型定理が成立する事が知られており, それは二次のコホモロジーのホッジ構造および Nef cone と呼ばれるコホモロジーの中に定義された錐を保つ線形写像と自己同型写像の間に対応があることを主張する. この対応を用いて既約シンプレクティック多様体に多くの自己同型を構成する事が出来る. 構成した自己同型を用いて既約シンプレクティック多様体の幾何的な構造を詳にするのが本研究課題の目的であり, その中で最大の目的は Beauville-Bogomolov 二次形式と呼ばれる二次のコホモロジーに定義される二次形式に関して 0 となるコホモロジー類に対応する直線束 L が定める線形系がラグランジアンファイブレーションと呼ばれる一般ファイバーがラグランジアントーラスとなるような写像を定めることを示す事である. 昨年度は先に述べた性質を持つ直線束 L を固定するエントロピー 0 の無限位数の自己同型写像について存在を示し, その自己同型写像の固定点および周期点の幾何的な性質についていくつかの予想を得た, 今年度は具体的な例に対して, その予想を検証した. その過程で Nef cone の形状と自己同型群の性質がどのように関連するかについて新たな知見を得た.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度の研究成果は以下の二つである.
一つは既約シンプレクティック多様体の自己同型群の周期点の幾何的性質である. 代数様体の自己同型写像 f に対し, その周期点とは f の有限回の合成写像による固定点を意味する. 既約シンプレクティック多様体 X の自己同型写像で無限位数を持ち, そのエントロピーが 0 であるような物に対して周期の集合を S とすると S は X の Euclid 位相で稠密かつシンプレクティック形式を制限すると 0 となるのではないか, という観察が昨年度の研究で得られたものであった. 今年度はこの現象を具体的に見る事を試みた. まず既約シンプレクティック多様体の一番簡単な例である K3 曲面に対して, その自己同型写像の周期点を調べてみたところ, 周期点の集合 S は望ましい性質を持つ事が示せた. 続けて高次元の場合にラグランジアンファイブレーションがあると仮定して, 周期点の集合 S の性質を調べたところ, ある幾何的な仮定の元で周期点はやはり望ましい性質を持つ事がわかった.
もう一つの成果は Nef cone の形状と自己同型群の性質である. 大域的トレリ型定理の述べるところによると, ある種の代数多様体の自己同型写像はコホモロジーの間のホッジ構造と Nef cone を保つ線形写像と一対一の対応がある. すると Nef cone の形状と自己同型群にある関係がある事は自然に予見され, まず既約シンプレクティック多様体の Nef cone が有理錐であるのは自己同型群が有限である時, またその時に限る, という事を示せた. 次に自己同型群が無限群である場合を考え, Nef cone の形状がどうなるか調べたところ, 自己同型群にの性質に応じた形状を持つ事がわかった.
得られた結果を論文にまとめる作業が遅れている事は肝に銘じたい.
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| Strategy for Future Research Activity |
以下の三つの方針に従って進める.
1. ラグランジアンファイブレーションがある時, ファイバーからアーベル多様体のモジュライへの周期写像が定まる. この周期写像の像は一点かあるいは一般のファイバーが有限個の点からなる事が予想されている. この予想から周期点の Euclid 位相に関する稠密生およびシンプレクティック形式の制限に関する性質が従う事が今年度わかった事の一つであった. そこでまず知られている例についてこの予想が成立するかどうかを検証する.
2. Nef cone の形と自己同型群の構造の間に対応がある事を既約シンプレクティック多様体の場合に見る事が出来たが, この主張は他の標準因子が自明であるような代数多様体に関してどうなるかは二次元の場合でもまだ十分に理解されているとは言い難い. そこでまず二次元の場合の状況を整理し, 続いて高次元の場合を調べたい.
3. 最近, 一般の射影的代数多様体に対して, 大域的トレリ型の主張する結果が示された. この結果は代数多様体の同型類は土台となる Zariski 位相が入った位相多様体とその上の余次元 1 の代数的サイクルから因子類群への準同型写像を与える事で定まる事を主張している. この結果と知られている既約シンプレクティック多様体の大域的トレリ型定理とを証明から比較する事により, 標準因子が自明な代数多様体のコホモロジーの Hodge構造を保つ同型からどのくらい同型写像の存在が導かれるかを追求したい.
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| Causes of Carryover |
2020年度も主としてヨーロッパと日本のシンプレクティック多様体やモジュライ空間に関する研究者を対象とした国際研究集会を開催する予定である. 2019 年度の 6 月にこの研究集会の計画を始めたが, ヨーロッパ側の資金援助が思うように得られなかったことから国際渡航費および日本での滞在費をこちらが出すことを考えて, 繰越額が少し多めになるように設定した.
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