2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K03232
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
山崎 隆雄 東北大学, 理学研究科, 教授 (00312794)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数学 / 数論幾何学 / モチーフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の研究成果は三つに分かれる．
１．モジュラー曲線のヤコビ多様体について有理点のねじれ部分や最大不分岐アーベル被覆を決定する問題は重要で、Mazurをはじめとする多くの研究者により考察されてきた。同様な問題をカスプをモジュラスとする一般ヤコビ多様体に対して考えることができる。この対象について、レベルが平方因子を持たない場合に有理ねじれ部分をFu-Tsun Wei氏との共同研究で（ほぼ）決定した。同時に、正標数関数体上でDrinfeldモジュラー曲線に対する類似も得ることができた。また、Yifan Yang氏との共同研究では、レベルが素数の場合にモジュラー曲線の最大アーベル被覆でカスプの外で不分岐なものを決定することに成功した。
２．Deligneによる混合Hodge構造は代数幾何のあらゆる分野で用いられる基礎理論である。BlochとSrinivasはこの理論に拡張の余地があることを指摘し、enriched Hodge 構造の理論を提唱したが、その理論は双対性を持たないなどの理由でさらなる拡張がなされるべきであると述べていた。実際、Barbieri-Viale、加藤、Russellなどによる先行研究でレベル1以下の場合の理論は構築されていた。Florian Ivorra氏との共同研究ではこれらを一般のレベルへと拡張し「モジュラス付き混合Hodge構造」を導入した。これは自然な双対性を有する。非特異完備多様体と二つの因子の組に対し、その相対コホモロジーにモジュラス付き混合Hodge構造を（関手的に）入れることができて、双対コホモロジーのポアンカレ双対性と整合的となる。応用として加藤・Russellによるモジュラス付きAlbanese多様体を1-モチーフへ拡張した．
３．相互層のテンソル積について，Kay Ruelling氏・杉山倫氏と共同でテンソル積の詳しい計算を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は，モジュラー曲線のヤコビ多様体に関する研究では一本の論文が出版され，一本の論文がアクセプトされた．また，モジュラス付き混合ホッジ構造に関する研究もアクセプトされた．そのほかにモジュラス付きモチーフの基礎を与えるプレプリントを改訂し，相互層のテンソル積に関するプレプリントも公開した．
以上の通り，新しい研究成果が生まれ続けている．
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| Strategy for Future Research Activity |
モジュラス付きモチーフの理論については基礎理論を完結させることを目指す．相互層のテンソル積についてはプレプリントの出版を目指す．同時に，モジュラー曲線の一般ヤコビ多様体はこれまでの結果を1-モチーフとモジュラー記号の理論へと発展させたい．それぞれ，これまで共同研究を進めてきた多くの研究者と協力して進めてゆく予定である．
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| Causes of Carryover |
コロナウィルス蔓延のため，年度末の出張をキャンセルしたために残金が生じた．状況が落ち着けば新年度に延期して行う．
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