2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K03232
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
山崎 隆雄 東北大学, 理学研究科, 教授 (00312794)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 代数学 / 数論幾何 / モチーフ / モジュラス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．モジュラス付きモチーフの三角圏と相互層に関するKahn氏，宮崎氏，斎藤氏との共同研究に関し，論文三編受理され，一編が投稿中である．この観点からHodge理論を研究したIvorra氏との共著論文が受理され，テンソル積を研究した杉山氏，Rulling氏との共著論文が投稿中である．
２．VoevodskyのA1-不変移送付き層は，普遍的に自明な0サイクルのChow群を持つ非特異射影多様体での値が自明となる不変量（UT不変量）を大量に与える．Brauer群の標数と素な捻じれ部分が一例であるが，標数の捻じれ部分はA1-不変性でないにもかかわらず，UT不変量となる．我々はA1-不変性よりも弱いP1-不変性がUT不変性を導くことを示した．Brauer群の標数の捻じれ部分（より一般にHodge-Wittコホモロジー）はP1-不変性を持つため，上記の現象が説明できる．これは相互層がUT不変量を与えることを示したBinda-Rulling-斎藤の結果の拡張でもある．甲斐氏，小田部氏との共同研究で，論文は準備中である．
３．モジュラー曲線の志村被覆は合同部分群によるモジュラー曲線の中で最大の不分岐アーベル被覆を与える．レベルが平方自由の場合，次数が奇数の不分岐アーベル被覆は合同部分群で与えられること知られている．しかし次数が2冪の部分は未解明であり，実際に非合同部分群による不分岐アーベル被覆が現われる．そこで次数2の部分について研究を行った．カスプに含まれる因子から生じるものは，非合同部分群によるものも含めて次数2の不分岐アーベル被覆を決定することができた．これが次数2の不分岐アーベル被覆を尽くしていることは今後の課題である．関連した話題として，レベルが素数のモジュラー曲線について，カスプの外で不分岐な最大アーベル被覆を決定した論文が出版された．以上はYang氏との共同研究である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
台湾を訪問してYifan Yang氏と共同研究を行う予定であったが，新型コロナウィルスの流行により実施不可能となり，来年度以降に延期せざるをえなかった．また，参加を予定していたフランスでの研究集会も開催が一年延期され，その出張もキャンセルした．これらが主要な原因となり，研究の進捗が遅れてしまった．使用できなかった旅費は予算を繰り越しを行ったので，新年度に実行することを計画している．
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| Strategy for Future Research Activity |
P1-不変な移送付き層が，普遍的に自明な0-サイクルのChow群を持つ多様体での値が自明となる不変量を与えるという研究を完成させる．また，この研究で重要な役割を果たすA1不変最大部分移送付き層を，曲線での馴分岐性により特徴づけるという問題について，甲斐亘氏，小田部秀介氏と共同で研究を進める．
モジュラー曲線の不分岐アーベル被覆についての研究を進める．特に次数が2冪の場合は非合同部分群によるモジュラー曲線が現われるという点がこれまで調べられてなかった興味深い点であるので，これについてYifan Yang氏との共同で集中的に研究を進める．
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| Causes of Carryover |
上記の通り，コロナウィルス蔓延により共同研究のための出張をキャンセルしたため，旅費として使用する予定であった予算を繰り越すこととした．状況が落ち着けば新年度に延期して行う．状況に改善が見込まれない場合はオンラインでの共同研究に留めることとし，そのための機器を整備することに予算を振り分ける．
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